푸리에 변환

푸리에 변환(Fourier transform)은 한 함수를 인자로 받아 다른 함수로 변환하는 선형 변환이다. 일반적으로 변환된 함수는 원래 함수를 주파수 영역으로 표현한 것이라고 부른다.

정의

함수 $x(t)$가 복소수 범위에서 정의되어 있고 르베그 적분이 가능할 때, 이 함수의 푸리에 변환 $X(\xi)$는 다음과 같이 정의된다.

$X(\xi) = \int_{-\infty}^\infty x(t)\ e^{-2\pi i \xi t}\,dt$ ($\xi$는 모든 실수 범위)

여기서 일반적으로 독립변수 $t$는 시간을 나타내고, 변환변수 $\xi$는 주파수를 나타낸다.

$X(\xi)$ 대신 $\hat{x}(\xi)$, $\mathcal{F}\{x\}(\xi)$와 같은 표기를 사용하기도 한다.

푸리에 역변환은 다음과 같다.

$x(t) = \int_{-\infty}^\infty X(\xi)\ e^{2\pi i \xi t}\,d\xi$ ($t$는 모든 실수 범위)

푸리에 급수

• DST 이산 사인 변환
• DCT 이산 코사인 변환
• FFT 고속 푸리에 변환

푸리에 변환의 단점

시간에 대한 연속성이 고려되지 않음으로써 많은 문제가 야기된다. 이러한 단점을 보완하기 위해 DTFT, 웨이블릿 변환, 가버변환, MFCCs 등등이 연구되어 나왔다.

같이 보기

• 라플라스 변환
• 푸리에 급수

바깥 고리

• 푸리에 변환 동영상 강좌
• 푸리에 변환과 음악과의 관계