라플라스 변환

라플라스 변환(Laplace transform)은 어떠한 함수 $f(t)$에서 다른 함수로의 변환으로, 선형 동역학계와 같은 미분 방정식을 풀 때 유용하게 사용된다. 피에르시몽 라플라스의 이름을 따 붙여졌다.

라플라스 변환을 이용하면, 어려운 식들을 쉽게 변환하여 풀 수 있으며, 문제들을 직접적으로 해결 할 수 있는 장점이 있다. 초기값 문제의 경우 일차적으로 일반해를 구하는 단계가 필요없게 되고, 비제차 미분방정식의 경우에는 대응하는 제차미분방정식을 먼저 풀 필요가 없다. 라플라스 변환은 주어진 식은 간단한 식으로 변환한 뒤, 변형된 식을 푼다. 그리고 그렇게 풀어진 해를 다시 원식으로 변환한다.

정의

함수 $f(t)$의 라플라스 변환은 모든 실수 t ≥ 0 에 대해, 다음과 같은 함수 $F(s)$로 정의된다.

$F(s) = \mathcal{L}\left\{ f\right\}(s) =\int_{0^-}^\infty e^{-st} f(t)\,dt.$

여기서 $0^-$는 $\lim_{\epsilon \rightarrow +0} -\epsilon$를 간단히 나타낸 것이고 복소수 $s = \sigma + i \omega \,$, σ와 ω는 실수이다.

실제 사용시에는 엄밀히 정확하지는 않지만 $F(s) = \mathcal{L} \left\{f(t)\right\}$로 표기하기도 한다.

성질

선형성

$\mathcal{L}\left\{a f(t) + b g(t) \right\} = a \mathcal{L}\left\{ f(t) \right\} + b \mathcal{L}\left\{ g(t) \right\}$

미분

$\mathcal{L}\{f'\} = s \mathcal{L}(f) - f(0)$

$\mathcal{L}\{f''\} = s^2 \mathcal{L}(f) - s f(0) - f'(0)$

$\mathcal{L}\left\{ f^{(n)} \right\} = s^n \mathcal{L}\{f\} - s^{n - 1} f(0) - \cdots - f^{(n - 1)}(0)$

$\mathcal{L}\{ t f(t)\} = -F'(s)$

$\mathcal{L}\{ t^{n} f(t) \} =(-1)^{n} F^{(n)} (s)$

$\mathcal{L}\left\{ \frac{f(t)}{t} \right\} = \int_s^\infty F(\sigma)\, d\sigma$

적분

$\mathcal{L}\left\{ \int_0^t f(\tau)\, d\tau \right\} = \mathcal{L}\left\{ u(t) * f(t)\right\} = {1 \over s} F(s)$

t shifting

$\mathcal{L}\left\{ f(t - a) u(t - a) \right\} = e^{-as} F(s)$

$\mathcal{L}^{-1} \left\{ e^{-as} F(s) \right\} = f(t - a) u(t - a)$

참고: $u(t)$는 층계 함수이다.

합성곱

$\mathcal{L}\{f * g\} = \mathcal{L}\{ f \} \mathcal{L}\{ g \}$

주기가 p인 주기함수의 라플라스 변환

$\mathcal{L}\{ f \} = {1 \over 1 - e^{-ps}} \int_0^p e^{-st} f(t)\,dt$

같이 보기

• 푸리에 변환
• Z변환