라플라스 변환

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라플라스 변환(Laplace transform)은 어떠한 함수 f(t)에서 다른 함수로의 변환으로, 선형 동역학계와 같은 미분 방정식을 풀 때 유용하게 사용된다. 피에르시몽 라플라스의 이름을 따 붙여졌다.

라플라스 변환을 이용하면, 미분 방정식을 계수방정식으로 변환하여, 문제들을 쉽게 해결 할 수 있는 장점이 있다. 초기값 문제의 경우 일차적으로 일반해를 구하는 단계가 필요없게 되고, 비제차 미분방정식의 경우에는 대응하는 제차미분방정식을 먼저 풀 필요가 없다. 라플라스 변환은 주어진 식은 간단한 식으로 변환한 뒤, 변형된 식을 푼다. 그리고 그렇게 풀어진 해를 다시 원식으로 변환한다.

정의[편집]

함수 f(t)의 라플라스 변환은 모든 실수 t ≥ 0 에 대해, 다음과 같은 함수 F(s)로 정의된다[1].

F(s)
  = \mathcal{L}\left\{ f\right\}(s)
  =\int_{0^-}^\infty e^{-st} f(t)\,dt.

여기서 0^-\lim_{\epsilon \rightarrow +0} -\epsilon를 간단히 나타낸 것이고 복소수 s = \sigma + i \omega \, , σ와 ω는 실수이다.

실제 사용시에는 엄밀히 정확하지는 않지만 F(s) = \mathcal{L} \left\{f(t)\right\}로 표기하기도 한다.


성질[편집]

선형성[편집]

\mathcal{L}\left\{a f(t) + b g(t) \right\}
  = a \mathcal{L}\left\{ f(t) \right\} +
    b \mathcal{L}\left\{ g(t) \right\}

미분[편집]

\mathcal{L}\{f'\}
  = s \mathcal{L}(f) - f(0)
\mathcal{L}\{f''\}
  = s^2 \mathcal{L}(f) - s f(0) - f'(0)
\mathcal{L}\left\{ f^{(n)} \right\}
  = s^n \mathcal{L}\{f\} - s^{n - 1} f(0) - \cdots - f^{(n - 1)}(0)
\mathcal{L}\{ t f(t)\}
  = -F'(s)
\mathcal{L}\{ t^{n} f(t) \}
  =(-1)^{n} F^{(n)} (s)
\mathcal{L}\left\{ \frac{f(t)}{t} \right\} = \int_s^\infty F(\sigma)\, d\sigma

적분[편집]

\mathcal{L}\left\{ \int_0^t f(\tau)\, d\tau \right\}  = \mathcal{L}\left\{ u(t) * f(t)\right\} = {1 \over s} F(s)

t shifting[편집]

\mathcal{L}\left\{ f(t - a) u(t - a) \right\}
  = e^{-as} F(s)
\mathcal{L}^{-1} \left\{ e^{-as} F(s) \right\}
  = f(t - a) u(t - a)

참고: u(t)층계 함수이다.

합성곱[편집]

\mathcal{L}\{f * g\}
  = \mathcal{L}\{ f \} \mathcal{L}\{ g \}

주기가 p인 주기함수의 라플라스 변환[편집]

\mathcal{L}\{ f \}
  = {1 \over 1 - e^{-ps}} \int_0^p e^{-st} f(t)\,dt

역변환[편집]

함수 f(t)의 라플라스 변환을 F(s)라 하면 다음 식을 통해 F(s)로부터 f(t)를 구할 수 있다.


f(t) = \frac1{2\pi j}\int_{a-j\infty}^{a+j\infty}F(s)e^{st}\,ds,\quad j = \sqrt{-1}.

하지만 보통 위의 계산을 직접 하기 보다는 이미 알려져 있는 라플라스 변환들을 이용해 역변환을 구하는 것이 쉽다. 예를 들어


F(s) = \frac1{s^2 + 3s + 2},

F(s)가 주어져 있는 경우 부분분수 분해를 통해


F(s) = \frac1{s^2 + 3s + 2} = \frac1{s + 1} - \frac1{s + 2},

를 얻게되고 라플라스 변환의 선형성으로부터 f(t)는 다음과 같다.


\begin{align}
f(t)
&= \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac1{s + 1}\right\} - \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac1{s + 2}\right\} \\
&= e^{-t} - e^{-2t}, \quad t \ge 0.
\end{align}

미분방정식의 풀이[편집]

상수 계수를 갖는 선형 상미분 방정식[편집]

다음과 같은 n차 연립 상미분 방정식을 고려하자


\dot{\mathbf{x}}(t) = \mathbf{A}\mathbf{x}(t) + \mathbf{B}\mathbf{u}(t).

양변에 라플라스 변환을 취하면


\mathbf{X}(s) - \mathbf{x}(0) = \mathbf{A}\mathbf{X}(s) + \mathbf{B}\mathbf{U}(s),

이고 이를 \mathbf{X}(s)에 관해 정리하면


\mathbf{X}(s) = (s\mathbf{I} - \mathbf{A})^{-1}\mathbf{x}(0) + (s\mathbf{I} - \mathbf{A})^{-1}\mathbf{B}\mathbf{U}(s),

이다. 따라서, \mathbf{x}(t)는 다음과 같다[2].


\mathbf{x}(t) = \exp\left[\mathbf{A}t\right]\mathbf{x}(0) + \int_{0}^{t}\exp\left[\mathbf{A}(t-\tau)\right]\mathbf{B}\mathbf{u}(\tau)\,d\tau.

참고 문헌[편집]

  1. Kreyszig, E. (2006). 《Advanced Engineering Mathematics》, 9th, John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-72897-9
  2. Chen, C.-T. (2009). 《Linear System Theory and Design》, 3rd, Oxford University Press. ISBN 978-0-19-539207-4

같이 보기[편집]