엽층

미분위상수학에서 엽층(葉層, 영어: foliation)은 매끄러운 다양체를 낮은 차원의 다양체들의 층으로 잘게 자른 것을 말한다.

정의

$n$차원 매끄러운 다양체 $M$ 위의, $p$차원 잎으로의 엽층은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• 열린 덮개 $\{U_{i}\}_{i\in I}$
• 매끄러운 사상 $\phi _{i}\colon U_{i}\to \mathbb {R} ^{n}$. 이 경우 $\phi _{i}$는 $U_{i}$와 $\phi _{i}(U_{i})$ 사이의 미분 동형을 정의한다.

이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

• 모든 $i,j\in I$에 대하여, 만약 $U_{i}\cap U_{j}\neq \varnothing$이라면 $\phi _{ij}=\phi _{j}\circ \phi _{i}^{-1}\colon \phi _{i}(U_{i})\to \mathbb {R} ^{n}$은 다음과 같은 꼴이다.

  $\phi _{ij}(a,b)=\left(\phi _{ij}^{1}(a),\phi _{ij}^{2}(a,b)\right)\qquad (a\in \mathbb {R} ^{n-p},\;b\in \mathbb {R} ^{p})$

각 $a\in \mathbb {R} ^{n-p}$에 대하여,

$M_{a}=\bigcup \phi _{i}^{-1}(\{a\}\times \mathbb {R} ^{p})$

는 $x$에 대응하는 엽층의 잎(영어: leaf)이라고 한다. 이는 정의에 따라 $p$차원 다양체의 매끄러운 몰입을 이룬다. (이는 일반적으로 매장이 아니다.)

엽층이 주어진 매끄러운 다양체 $M$ 위에서, 같은 잎에 속하는 점들을 동치라고 여기면, 이에 대한 몫공간인 엽공간(葉空間, 영어: leaf space) $M/{\sim }$을 정의할 수 있다. 이는 일반적으로 하우스도르프 공간이 아니다.

성질

$n$차원 매끄러운 다양체 $M$의 접다발 $TM$의 $p$차원 매끄러운 부분 벡터 다발 $E\subset TM$이 주어졌다고 하자. 프로베니우스 정리(영어: Frobenius theorem)에 따르면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• (적분 가능성 영어: integrability) $N$의 단면은 리 괄호에 대하여 닫혀 있다. 즉, 임의의 벡터장 $X,Y\in \Gamma (E)$에 대하여, $[X,Y]\in \Gamma (E)$이다.
• 임의의 $x\in M_{a}$에 대하여 $E=TM_{a}\subset TM$가 되는 엽층 $(M_{a})_{a\in A}$이 존재한다.

접다발의 매끄러운 부분 벡터 다발은 분포(영어: distribution)라고 한다. 즉, 적분 가능 분포는 엽층과 동치인 개념이다.

예

올다발

올다발

$F\hookrightarrow E{\stackrel {\pi }{\twoheadrightarrow }}B$

이 주어졌다고 하고, 올 $F$와 전체 공간 $E$가 매끄러운 다양체라고 하자. 그렇다면 이는 엽층을 이룬다. 엽공간은 $B$이며, $b\in B$에 대응하는 잎은 원상 $\pi ^{-1}\{b\}$이다.

특수한 경우로, 곱공간 $E=F\times B$은 (자명한 올다발을 이루므로) 엽공간이 $B$인 엽층을 이룬다.

리 군

리 군 $G$와 $H$ 사이에 단사 몰입

$H\hookrightarrow G$

가 주어진다고 하자. 그렇다면, $G/H$는 엽층을 이룬다. 즉, 이 엽층에서 잎은 $G$는 $H$에 대한 잉여류이며, 엽공간은 몫공간 $G/H$이다.

만약 $H$의 상이 $G$ 속의 닫힌집합이라면, 몫공간 $G/H$는 (하우스도르프) 매끄러운 다양체가 되며, $G\twoheadrightarrow G/H$는 $H$-주다발을 이룬다.

크로네커 엽층

원환면 $\mathbb {R} ^{n}/\mathbb {Z} ^{n}$에서, 잎들이

$M_{\mathbf {x} _{0}}={\frac {\{\mathbf {x} _{0}+t\mathbf {v} \colon t\in \mathbb {R} \}}{\mathbb {Z} ^{n}}}$

인 엽층을 주자 ($v_{1}=1$). 이 경우, 기울기 $\mathbf {v}$의 성분들이 모두 유리수라면 각 잎들은 원환면 속의 매끄럽게 매장된 원을 이룬다. 그러나 $v_{1}$을 제외한 성분들이 모두 무리수라면, 각 잎들은 매끄럽게 단사 몰입된 직선을 이룬다. 이 경우, 잎들은 매장된 부분 다양체가 아니라 몰입된 부분 다양체이다.

외부 링크

• “Foliation”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Haefliger structure”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Foliation”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Foliation leaf”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Confoliation”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Foliation”. 《nLab》 (영어). 
• “Singular foliation”. 《nLab》 (영어). 
• “SImple foliation”. 《nLab》 (영어). 

같이 보기

• 올다발
• 올뭉치