Lp 공간

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함수해석학에서, Lp 공간(영어: Lp-space)은 절댓값의 p승이 르베그 적분 가능한 가측함수들의 동치류들로 구성된 노름공간이다.

정의[편집]

측도공간 (X,\Sigma,\mu) 및 수 0\le p\le\infty가 주어졌다고 하고 K\in\{\mathbb C,\mathbb R\}가 (보렐 집합시그마 대수를 갖춘) 체라고 하자. 그렇다면 L^p(X,K)K에 대한 위상벡터공간이며, 그 정의는 p의 값에 따라 다음과 같다.

Lp (0 < p ≤ ∞)[편집]

0<p\le\infty가측함수 f\colon X\to K에 대하여 다음과 같은 노름 \|\cdot\|_p을 정의하자.

\|f\|_p=\begin{cases}\left(\int_X|f(x)|^p\right)^{1/p}&p<\infty\\
\inf\left\{C\in\mathbb R|0=\mu(\{x\in X||f(x)|<C\})\right\}&p=\infty\end{cases}\in[0,\infty]

그렇다면, \mathcal L^p를 다음과 같은 집합으로 정의하자.

\mathcal L^p(X,K)=\{f\in M(X,K)|\|f\|_p<\infty\}

여기서 M(X,Y)는 두 측도공간 X,Y 사이의 가측함수의 집합이다.

\mathcal L^p(X,K)K에 대한 벡터공간을 이루며, \|\cdot\|_p

\ker\|\cdot\|_p=\{f\in M(X,K)|\|f\|_p=0\}\subset\mathcal L^p(X,K)

으로 몫공간을 취한 것을 L^p(X,K)라 한다.

L^p(X,K)=\mathcal L^p(X,K)/\ker\|\cdot\|_p

이는 \|\cdot\|_p에 의한 열린 공

B_r(f)=\{g\in L^p|\|f-g\|_p<r\}

기저로 하는 위상을 주어, 위상공간을 이룬다. 이 위상은 평행 이동에 대하여 불변인 거리 함수로 유도될 수 있다.

만약 p\ge1이라면, \|\cdot\|_pL^p(K) 위의 완비 노름을 이루며, \|\cdot\|_pK-바나흐 공간을 이룬다.

L0[편집]

p=0인 경우, \|L\|^0(X,K)은 모든 가측함수 X\to K의 (동치류의) 공간이다. 이 경우, 측도수렴 위상을 부여하여 위상벡터공간으로 만든다.

p[편집]

만약 X가 (이산 측도를 갖춘) 자연수이산공간 \mathbb N일 경우,

\mathcal L^p(\mathbb N,K)=\ell^p(K)

로 쓴다. 이 경우, 함수 f\in M(\mathbb N,K)K값을 갖는 수열이 되고, 노름 \|\cdot\|_p은 다음과 같다.

\|f\|_p=\left(\sum_{i=0}^\infty |f_i|^p\right)^{1/p}

성질[편집]

p의 범위에 따라서, \ell^p 공간의 성질은 다음과 같다.

p의 범위 \ell^p의 성질
0\le p<1 위상벡터공간 (국소볼록공간이 아님)
1\le p<2 바나흐 공간
p=2 분해가능 힐베르트 공간
2<p\le\infty 바나흐 공간

쌍대공간[편집]

1<p<\infty일 때, L^p연속쌍대공간은 다음과 같다.

(L^p)^*=L^q\qquad(1/p+1/q=1,\;1<p<\infty)

구체적으로, g\in\mathcal L^q(X,K)f\in\mathcal L^p(X,K)에 대하여

g\colon f\mapsto\int_Xfg

가 된다. 특히, p=2일 경우 L^2는 스스로의 연속쌍대공간이 되며, 따라서 이 경우 힐베르트 공간을 이룬다.

L^\infty의 연속쌍대공간은 (선택공리를 가정하면) 일반적으로 L^1보다 훨씬 크다. 반면, 만약 X가 가산개의 유한 측도 집합들의 합집합이라면, (L^1)^*=L^\infty이다.

역사[편집]

리스 프리제시가 1910년에 도입하였다.[1][2]

참고 문헌[편집]

  1. (독일어) Riesz, Frigyes (1910년). 《Untersuchungen über Systeme integrierbarer Funktionen》, 449–497쪽. doi:10.1007/BF01457637
  2. (영어) Bourbaki, Nicolas (1987). 《Topological vector spaces》, Elements of Mathematics. Springer. ISBN 978-3-540-13627-9

바깥 고리[편집]