C* 대수

함수해석학에서 C* 대수(시스타 대수, 영어: C*-algebra)는 대합 대수와 복소수 바나흐 대수의 구조를 서로 호환되게 갖춘 수학 구조이다.

정의

C* 대수의 개념은 다양한 방법으로 정의될 수 있다.

• 추상적으로, 복소수 대합 대수와 복소수 바나흐 대수의 구조가 서로 호환되게 주어진 복소수 벡터 공간으로 여길 수 있다.
• 사실, 복소수 바나흐 공간 구조는 복소수 대합 대수 구조로부터 정의될 수 있다. 따라서, C* 대수를 순수하게 대수학적으로 특별한 꼴의 복소수 대합 대수로 정의할 수 있다.
• 구체적으로, 복소수 힐베르트 공간 위의 유계 작용소 대수로 표현될 수 있는 복소수 바나흐 대수로 여길 수 있다. 이 정의에서, 복소수 힐베르트 공간 위의 *-표현은 C* 대수의 정의에 포함되지 않는다.

이 정의들은 모두 서로 동치이다.

추상적 정의

복소수 벡터 공간 $A$ 위에 다음과 같은 두 구조가 주어졌다고 하자.

• $(A,^{*})$는 (복소수 켤레를 부여한) 복소수체 위의 (항등원을 갖는) 대합 대수이다. (즉, 임의의 $a\in A$ 및 $\lambda \in \mathbb {C}$에 대하여 $(\lambda a)^{*}={\bar {\lambda }}a^{*}$이다.)
• $(A,\|\|)$는 복소수 바나흐 대수이다.

그렇다면, $(A,^{*},\|\|)$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 만약 $(A,^{*},\|\|)$가 이를 만족시킨다면 C* 대수라고 한다.

• (C* 항등식 영어: C* identity) $\Vert x^{*}x\Vert =\Vert x\Vert \Vert x^{*}\Vert$
• (B* 항등식 영어: B* identity) $\Vert x\Vert =\Vert x^{*}\Vert$

(C* 항등식이 B* 항등식을 함의하는 것은 자명하지만, 반대 방향의 함의를 증명하는 것은 자명하지 않다.)

일부 문헌에서는 C* 대수의 정의에서 항등원의 존재를 생략하기도 한다.

대수적 정의

(복소수 켤레를 부여한) 복소수체 위의 (항등원을 갖는) 대합 대수 $(A,^{*})$가 다음 조건을 만족시킨다면, C* 대수라고 한다.

• $a\mapsto \sup \operatorname {sp} (a^{*}a)$는 $A$ 위의 노름을 이룬다. 즉, 다음이 성립한다.
  • 임의의 $a\in A$에 대하여, 스펙트럼 $\operatorname {sp} (a^{*}a)\subseteq \mathbb {C}$는 유계 집합이다.
  • 임의의 $a\in A\setminus \{0\}$에 대하여, $1+\lambda a^{*}a$가 가역원이 아니게 만드는 복소수 $\lambda \in \mathbb {C}$가 존재한다.
  • (삼각 부등식) 임의의 $a,b\in A$에 대하여, $\sup \operatorname {sp} (a^{*}a+b^{*}b+a^{*}b+b^{*}a)\leq \sup \operatorname {sp} (a^{*}a)+\sup \operatorname {sp} (b^{*}b)$이다.
• $a\mapsto \sup \operatorname {sp} (a^{*}a)$는 완비 노름을 이룬다.

이 대수적 정의는 위의 정의와 동치이다. 구체적으로, C* 항등식으로부터 노름이 항상 $\|a\|=\sup \operatorname {sp} (a^{*}a)=\operatorname {sp} (aa^{*})$임을 보일 수 있으며, 반대로 임의의 복소수 바나흐 대수에서 $\operatorname {sp} (ab)\cup \{0\}=\operatorname {sp} (ba)\cup \{0\}$이므로 이는 B* 항등식을 함의한다.

구체적 정의

복소수 대합 대수 $A$의 *-표현(영어: *-representation)은 다음과 같은 데이터로 구성된다.

• 복소수 힐베르트 공간 ${\mathcal {H}}$
• 유계 작용소들의 복소수 바나흐 대수 $\operatorname {B} ({\mathcal {H}},{\mathcal {H}})$로 가는 단사 복소수 대합 대수 준동형 $\iota \colon A\hookrightarrow \operatorname {B} ({\mathcal {H}},{\mathcal {H}})$. 즉, $\iota$는 단사 함수이며, 복소수 선형 변환이며, (항등원을 보존하는) 환 준동형이며, 대합을 보존한다 (즉, $\iota (a^{*})=\iota (a)*\;\forall a\in A$. 여기서 우변의 $(-)^{*}$는 유계 작용소의 에르미트 수반이다.)

만약 복소수 대합 대수가 그 상이 (작용소 노름으로 정의되는 거리 위상에 대하여) 닫힌집합인 *-표현을 갖는다면, 이를 C* 대수라고 한다. (마지막 조건을 노름 위상 대신 강한 작용소 위상 또는 약한 작용소 위상에 대한 닫힌집합인 것으로 강화시키면, 대신 폰 노이만 대수의 개념을 얻는다.)

겔판트-나이마르크 정리(Гельфанд-Наймарк定理, 영어: Gelfand–Naimark theorem)에 따르면, 임의의 (추상적 정의에 따른) C* 대수 $A$의 경우, 어떤 복소수 힐베르트 공간 ${\mathcal {H}}$ 위의 작용

$\iota \colon A\to \operatorname {B} ({\mathcal {H}},{\mathcal {H}})$

가 존재하며, 또한 이는 단사 함수이자 복소수 선형 변환이자 등거리 변환이며, 또한 수반 연산 $^{*}$에 대한 준동형이며, 그 상은 C* 대수의 구체적 정의에 부합한다.

C* 대수의 원소

$A$가 C* 대수라고 하고, $x\in A$라고 하자.

• 만약 $y\in A$가 존재하여 $y^{*}y=x$라면, $x$를 음이 아닌 원소(陰-元素, 영어: nonnegative element)라고 한다. 음이 아닌 원소들의 집합은 볼록 뿔(convex cone)을 이룬다.
• 만약 $x=x^{*}$라면, $x$를 자기 수반 원소라고 한다. 자기 수반 원소의 스펙트럼은 모두 실수이다.
• $xx^{*}=x^{*}x=1$이라면, $x$를 유니터리 원소라고 한다. 유니터리 원소의 스펙트럼의 원소들의 절댓값은 항상 1이다.
• $x$의 스펙트럼 $\sigma (x)\subset \mathbb {C}$는 $\lambda \cdot 1-x$가 가역원이 아니게 되는 $\lambda \in \mathbb {C}$들의 집합이다. 일반적으로, $\sigma (x^{*})={\bar {\sigma }}(x)$이다.
• $x$의 스펙트럼의 절댓값들의 상한 $\sup |\sigma (x)|=\nu (x)$를 $x$의 스펙트럼 반지름이라고 한다. 스펙트럼 반지름은 다음과 같이 정의할 수도 있다.

  $\nu (x)=\lim _{n\to \infty }\Vert x^{n}\Vert ^{1/n}$

연산

직합

유한 또는 무한 개의 C* 대수 $(A_{i})_{i\in I}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 복소수 벡터 공간

${\widehat {\bigoplus }}_{i\in I}A_{i}\subseteq \prod _{i\in I}A_{i}$

$a\in {\widehat {\bigoplus }}_{i\in I}A_{i}\iff \sup _{i\in I}\|a_{i}\|_{A_{i}}<\infty$

위에 균등 노름

$\|a\|_{{\widehat {\bigoplus }}_{i}A_{i}}=\sup _{i\in I}\|a_{i}\|_{A_{i}}$

및 성분별 곱셈

$(ab)_{i}=a_{i}b_{i}\qquad (i\in I)$

을 부여하면, 이는 C* 대수를 이룬다. 이 경우 항등원은 $1_{{\widehat {\bigoplus }}_{i}A_{i}}=(1_{A_{i}})_{i\in I}$ 이다.

물론, 만약 $I$가 유한 집합이라면, 이는 단순히 직합 $\textstyle \bigoplus _{i\in I}A_{i}$과 같다.

몫대수

다음이 주어졌다고 하자.

• C* 대수 $A$
• $A$의 양쪽 아이디얼 ${\mathfrak {I}}\subseteq A$. 또한, ${\mathfrak {I}}$가 닫힌집합이라고 하자.

그렇다면, 그 몫환 $A/{\mathfrak {I}}$ 역시 C* 대수를 이룬다.

행렬 대수

C* 대수 $A$ 및 자연수 $n\in \mathbb {N}$에 대하여, 행렬 대수 $\operatorname {Mat} (n;A)$는 $A$ 성분의 $n\times n$ 정사각 행렬들로 구성되며, 이 역시 C* 대수를 이룬다. 만약 어떤 복소수 힐베르트 공간 $V$에 대하여 $A\subseteq \operatorname {B} (V,V)$라면, $\operatorname {Mat} (n;A)\subseteq \operatorname {B} (V^{\oplus n},V^{\oplus n})$으로 여길 수 있다.

만약 $n=0$일 경우, 이는 자명환이다.

성질

C* 대수 사이의 사상

다음이 주어졌다고 하자.

• (항등원을 갖는) 두 C* 대수 $A$, $B$
• (항등원을 보존하는) 복소수 대합 대수 준동형 $f\colon A\to B$. 즉, $f$는 복소수 선형 변환이자 환 준동형이며, 대합 연산을 보존한다 ($f(a^{*})=f(a)^{*}\;\forall a\in A$).

그렇다면, $f$는 작용소 노름이 1 이하인 유계 작용소이다.

증명:

임의의 $a\in A$에 대하여, C* 항등식에 따라

$\|a\|_{A}^{2}=\|a^{*}a\|_{A}$

이다. $a^{*}a$는 음이 아닌 원소이므로, 그 노름은 스펙트럼 반지름과 같다.

$\|a^{*}a|_{A}=\operatorname {sp\,rad} _{A}(a^{*}a)$

$A$의 가역원의 상은 $B$의 가역원이므로 다음이 성립한다.

$\operatorname {sp} _{A}(a^{*}a)\supseteq \operatorname {sp} _{B}(f(a^{*}a))$

여기서 $\operatorname {sp} (-)$는 스펙트럼이다. 특히

$\operatorname {sp\,rad} _{A}(a^{*}a)\geq \operatorname {sp\,rad} _{B}(f(a^{*}a))$

이다. 이에 따라

$\|f(a)\|_{B}^{2}=\|f(a^{*}a)\|_{B}=\operatorname {sp\,rad} _{B}(f(a^{*}a))\leq \operatorname {sp\,rad} _{A}(a^{*}a)=\|a^{*}a\|_{A}=\|a\|_{A}^{2}$

이며, 즉 $\|f\|\leq 1$이다.

또한, 만약 $f$가 추가로 단사 함수라면, 이는 등거리 변환이다. 즉, $\|a\|_{A}=\|f(a)\|_{B}\;\forall a\in A$이다.

이에 따라, C* 대수와 복소수 대합 대수 준동형들은 구체적 범주 $\operatorname {C*Alg}$를 이룬다.

스펙트럼

 이 부분의 본문은 스펙트럼 (함수해석학)입니다.

C* 대수의 원소의 스펙트럼은 항상 공집합이 아니다. 또한, 임의의 C* 대수 $A$의 원소 $a\in A$에 대하여

$\operatorname {sp} (a^{*})=\{{\bar {\lambda }}\colon \lambda \in \operatorname {sp} (a)\}$

이다.

C* 대수의 자기 수반 원소의 스펙트럼은 실수의 부분 집합이다. C* 대수의 유니터리 원소의 스펙트럼은 $\{z\in \mathbb {C} \colon |z|=1\}$의 부분 집합이다.

분류

모든 C* 대수는 겔판트-나이마르크 정리에 의하여 어떤 복소수 힐베르트 공간 속의 유계 작용소 C* 대수의 부분 대수로 나타내어진다. 특히, 이 C* 대수를 포함하는 최소의 폰 노이만 대수를 정의할 수 있으며, 원래 C* 대수는 이 폰 노이만 대수의 강한 연산자 위상에서의 조밀 집합을 이룬다. 폰 노이만 대수의 경우 자세한 구조 이론이 알려져 있다.

예

자명한 C* 대수

한원소 집합 $\{\bullet \}$ 위의 유일한 환 구조인 자명환은 C* 대수를 이룬다. 이는 유일한 0차원 C* 대수이다.

유한 차원 C* 대수

임의의 유한 차원 C* 대수 $A$는 다음과 같은 꼴이다.

$A=\bigoplus _{i\in I}\operatorname {Mat} (n,n;\mathbb {C} )$

여기서 $\operatorname {Mat} (n,n;\mathbb {C} )$는 작용소 노름이 부여된, $n\times n$ 복소수 정사각 행렬들의 C* 대수이다.

가환 C* 대수

(항등원을 갖는) 가환 C* 대수 $A$의 스펙트럼(영어: spectrum)은 다음과 같은 집합이다. (이 개념은 C* 대수의 원소의 스펙트럼의 개념과 관계가 없다.)

${\hat {A}}=\hom(A,\mathbb {C} )\subseteq A^{*}$

즉, $A\to \mathbb {C}$ *-준동형들의 집합이다. *-준동형의 작용소 노름은 1 이하이므로,

${\hat {A}}\subseteq \operatorname {cl} \left(\operatorname {ball} _{A^{*}}(0,1)\right)$

이다. (여기서 우변은 연속 쌍대 공간 $A^{*}$의 닫힌 단위 공이다.) 우변에 약한-* 위상을 주고, 좌변을 그 부분 공간으로 간주하면, 바나흐-앨러오글루 정리에 의하여 ${\hat {A}}$는 콤팩트 하우스도르프 공간을 이룬다. 이 연산은 함자

${\hat {\color {White}{A}}}\colon \operatorname {comC*Alg} \to \operatorname {CompHausTop} ^{\operatorname {op} }$

를 정의한다. 여기서

• 정의역은 (항등원을 갖는) 가환 C* 대수와, *-준동형들의 구체적 범주이다.
• 공역은 콤팩트 하우스도르프 공간과 연속 함수들의 구체적 범주의 반대 범주이다.

반대로, 다음과 같은 함자

${\mathcal {C}}^{0}(X,-)\colon \operatorname {CompHausTop} ^{\operatorname {op} }\to \operatorname {comC^{*}Alg}$

를 정의할 수 있다.

• 임의의 콤팩트 하우스도르프 공간 $X$에 대하여, ${\mathcal {C}}^{0}(-,\mathbb {C} )$는 복소수 값 연속 함수들의 공간이다. 이 위에 ∞-르베그 노름 $\|f\|_{\infty }=\sup _{x\in X}|f|$ 및 점별 덧셈 · 곱셈 · 복소수 켤레를 부여하면, 이는 가환 C* 대수를 이룬다.
• 임의의 두 콤팩트 하우스도르프 공간 $X$, $Y$ 사이의 연속 함수 $f\colon X\to Y$의 ${\mathcal {C}}^{0}(-,\mathbb {C} )$에 대한 상은 다음과 같다.

  ${\mathcal {C}}^{0}(f,\mathbb {C} )\colon {\mathcal {C}}^{0}(Y,\mathbb {C} )\to {\mathcal {C}}^{0}(X,\mathbb {C} )$

  ${\mathcal {C}}^{0}(f,\mathbb {C} )\colon \phi \mapsto \phi \circ f$

겔판트 표현 정리(Гельфанд表現定理, 영어: Gelfand representation theorem)에 따르면, ${\mathcal {C}}^{0}(-,\mathbb {C} )$와 ${\hat {\color {White}{A}}}$ 함자는 사실 두 범주 $\operatorname {comC*Alg}$와 $\operatorname {CompHausTop} ^{\operatorname {op} }$ 사이의 범주의 동치를 정의한다.

특히, 모든 (항등원을 갖는) 가환 C* 대수 $A$에 대하여

$A\cong {\mathcal {C}}^{0}({\hat {A}},\mathbb {C} )$

이며, 모든 (항등원을 갖는) 가환 C* 대수 $A$는 위와 같은 꼴로 (유일하게) 표현된다.

유계 작용소 대수

임의의 복소수 힐베르트 공간 $V$ 위의 모든 유계 작용소들의 집합 $\operatorname {B} (V,V)$은 함수의 합성을 곱셈으로 삼을 때 C* 대수를 이룬다. (이는 특히 I종 인자 대수이다.) 특히, 만약 $V=\mathbb {C} ^{n}$가 유한 차원이라면, 이는 $n\times n$ 복소수 행렬들로 구성된다.

콤팩트 작용소 대수

임의의 복소수 힐베르트 공간 $V$ 위의 모든 콤팩트 작용소들의 집합 $\operatorname {K} (V,V)$은 $\operatorname {B} (V,V)$의 닫힌 양쪽 아이디얼을 이루며, 이에 대한 몫환

${\frac {\operatorname {B} (V,V)}{\operatorname {K} (V,V)}}$

은 C* 대수를 이룬다. 이를 콜킨 대수(영어: Calkin algebra)라고 한다.

응용

C* 대수의 이론은 양자장론을 수학적으로 엄밀하게 정의하려는 시도에 사용된다.

겔판트 표현에 의하여, 가환 C* 대수는 콤팩트 하우스도르프 공간에 대응되며, 만약 항등원을 가져야 하는 조건을 생략한다면, 이는 국소 콤팩트 하우스도르프 공간에 대응된다. 이에 대하여, 일반적 (비가환일 수 있는) C* 대수 역시 일종의 ‘공간’으로 여길 수 있다. 이러한 수학적 분야를 비가환 기하학이라고 한다.

참고 문헌

• Arveson, William (1976). 《An invitation to C*-algebras》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 39. Springer. doi:10.1007/978-1-4612-6371-5. ISBN 978-1-4612-6373-9. ISSN 0072-5285. MR 0512360. Zbl 0344.46123. 
• Sakai, Shôichirô (1971). 《C*-algebras and W*-algebras》. Classics in Mathematics (영어) 60. doi:10.1007/978-3-642-61993-9. ISBN 978-3-540-63633-5. ISSN 0071-1136. MR 1490835. 
• Kadison, Richard V.; Ringrose, John R. (1997). 《Fundamentals of the theory of operator algebras. Volume I: elementary theory》. Graduate Studies in Mathematics (영어) 15. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-0819-1. 
• Kadison, Richard V.; Ringrose, John R. (1997). 《Fundamentals of the theory of operator algebras. Volume II: advanced theory》. Graduate Studies in Mathematics (영어) 16. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-0820-7. 
• Weaver, Nik (2007년 3월). “Set theory and C*-algebras”. 《Bulletin of Symbolic Logic》 (영어) 13 (1): 1–20. arXiv:math/0604198. Bibcode:2006math......4198W. ISSN 1079-8986. JSTOR 4145599. 

외부 링크

• “C*-algebra”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Toeplitz C*-algebra”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Nuclear-C*-algebra”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Spectrum of a C*-algebra”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Character of a C*-algebra”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Trace on a C*-algebra”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “AF-algebra”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “C^*-algebra”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Moslehian, Mohammad Sal. “C^*-algebra representation”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Pre-C^*-algebra”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Local C^*-algebra”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “C-star-algebra”. 《nLab》 (영어). 
• “Separable C*-algebra”. 《nLab》 (영어). 
• “Nuclear C*-algebra”. 《nLab》 (영어). 
• “Commutative C*-algebra”. 《nLab》 (영어). 
• “Crossed product C*-algebra”. 《nLab》 (영어). 
• “C*-algebras”. 《The Vortex》 (영어). 2011년 7월 5일. 
• “Tensor products of C*-algebras”. 《The Vortex》 (영어). 2011년 7월 9일.