오비폴드

위키백과, 우리 모두의 백과사전.
이동: 둘러보기, 검색

기하학에서, 오비폴드(영어: orbifold)는 국소적으로 유한군의 선형작용에 대한 유클리드 공간몫공간동형위상공간이다. 오비폴드는 일반적으로 특이점을 갖기 때문에 다양체가 아니나, 다양체를 일반화한 것으로 볼 수 있다. (다양체는 국소적으로 에우클레이데스공간과 같은 위상공간이므로, 오비폴드의 한 특수한 경우다.)

수학에서 연구되는 분야였지만 최근 물리학끈 이론과 함께 발전해 왔다.

정의[편집]

n차원의 오비폴드는 다음과 같이 정의한다. 하우스도르프 위상공간 X와 그 열린 덮개 U_i를 생각하자. (\{U_i\}는 유한 교집합에 대하여 닫혀 있다고 가정하자.)

U_i에 대하여, 연속함수 \phi_i\colon U_i\to V_i를 가정하자. 여기서 V_i\mathbb R^n의 부분집합으로, 유한군 \Gamma_i의 선형작용에 대하여 불변하다. \phi_iU_i\to V_i/\Gamma_i위상동형사상을 정의한다고 가정하자. 이들을 오비폴드 국소좌표계라고 부른다.

일련의 오비폴드 국소좌표계 (U_i,V_i,\Gamma_i,\phi_i)의 집합은 다음과 같은 조건을 만족하면 오비폴드 좌표근방계(orbifold atlas)를 이룬다.

  • U_i\subset U_j면 단사준동형사상 \Gamma_i\to\Gamma_j가 존재한다.
  • U_i\subset U_j\Gamma_i에 대하여 \Gamma_i-위상동형사상 \psi_{ij}\colon V_i\to W_j\subset V_j이 존재한다. (W_jV_j의 열린 부분집합)
  • \phi_j\circ\psi_{ij}=\phi_i
  • any other possible gluing map V_i\to V_jg\psi_{ij}의 꼴이다 (여기서 g\in\Gamma_j).

[편집]

G이산군이라고 하고, M군의 작용 G\times M\to M이 주어진 다양체라고 하자. 그렇다면 몫공간

M/G=M/(x\sim g\cdot x\forall g\in G,x\in M)

은 자연스럽게 오비폴드 구조를 갖는다. 이런 꼴로 나타낼 수 있는 오비폴드를 축소 오비폴드(영어: reduced orbifold)라고 한다. 하지만 축소 오비폴드가 아닌 오비폴드도 존재한다. 즉, 오비폴드는 항상 국소적으로 (유클리드 공간의) 군의 작용에 대한 몫공간이지만, 대역적으로 군의 작용에 대한 몫공간이 아닐 수 있다. 끈 이론에서는 보통 모든 오비폴드를 축소 오비폴드로 가정한다. 특히, 유클리드 공간의 몫공간 \mathbb R^n/\Gamma 꼴의 공간을 오비폴드라고 부른다.

모든 다양체는 자명하게 (축소) 오비폴드이다. 예를 들어, 군 G자명군으로 놓으면 된다.

또한, 경계를 갖는 다양체(영어: manifold with boundary) 또한 자연스럽게 축소 오비폴드를 이룬다. 경계를 갖는 다양체 M이 주어지면, 그 이중덮개(영어: double)를 다음과 같이 정의하자.

D(M)=M\times\{0,1\}/((x,0)\sim(x,1)\forall x\in\partial M)

즉, M의 두 개의 복사본의 각 경계를 이어붙여 얻는다. M의 이중덮개는 (경계를 갖지 않는) 다양체이다. 이 경우, M은 다음과 같은 몫공간으로 나타낼 수 있다.

M=D(M)/\mathbb Z_2

역사와 어원[편집]

사타케 이치로(일본어: 佐武 一郎 (さたけ いちろう))가 1956년에 ‘V-다양체’(영어: V-manifold)라는 이름으로 정의하였다.[1] 윌리엄 서스턴이 1980년 재발견하였고, ‘오비폴드’(영어: orbifold)라는 이름을 붙였다.[2]

‘오비폴드’(영어: orbifold)라는 이름은 영어: orbit 오빗[*] (궤도)과 영어: manifold 매니폴드[*] (다양체)를 합친 혼성어이다. 이 이름에 대하여 서스턴은 다음과 같이 적었다.

이 용어를 고른 건 제 탓이 아니고, 1967년~1977년 가르친 강의 도중 민주적인 방법으로 정한 것입니다. 오비폴드는 여러 번(영어: many 메니[*]) 접힌(영어: fold 폴드[*]) 것이죠. 하지만 영어: manifold 매니폴드[*](다양체)는 이미 다른 뜻을 가지고 있습니다. 대신 영어: foldamani 폴더매니[*]를 시도해 봤지만, 이 용어는 곧 영어: manifolded 매니폴디드[*]로 대체되었습니다. 그러나 두 달 동안 계속 “아니, 매니폴드가 아니라 매니폴디드”라고 하는 게 지겨워, 결국 투표를 했고, "오비폴드"가 당선되었더라구요.

This terminology should not be blamed on me. It was obtained by a democratic process in my course of 1976–77. An orbifold is something with many folds; unfortunately, the word “manifold” already has a different definition. I tried “foldamani”, which was quickly displaced by the suggestion of “manifolded”. After two months of patiently saying “no, not a manifold, a manifoldead,” we held a vote, and “orbifold” won.

 
[2]:300

참고 문헌[편집]

  1. Satake, Ichiro (1956년 6월 1일). On a generalization of the notion of manifold. 《Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America》 42 (6): 359–363. doi:10.1073/pnas.42.6.359. MR0079769. ISSN 0027-8424.
  2. Thurston, William (1980년). The geometry and topology of three-manifolds. Princeton University.