위상동형사상

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머그컵을 연속적으로 변형시켜서 도넛 모양으로 만들 수 있으며, 따라서 두 공간은 위상동형이다. 그러나, 이와 같은 방식으로 변형시킬 수 없으면서도 위상동형인 공간들도 있다.

위상수학에서 위상 동형 사상(位相同型寫像, 영어: homeomorphism)은 위상적 성질(topological property)을 보존하는 동형 사상이다. 두 공간 사이에 위상 동형 사상이 존재할 경우, 이 둘은 서로 위상 동형(位相同型, 영어: homeomorphic)이라고 한다. 위상수학적 관점에서 이 둘은 같은 공간이라고 말할 수도 있다. 간단하게 설명하자면, 기하학적 물체를 찢거나 붙이지 않고 구부리거나 늘이는 것으로 다른 형태로 변형하는 것을 말한다.

정의[편집]

위상 공간 (X, T_X)(Y, T_Y)가 주어져 있다고 하고, f : X \to Y를 두 위상 공간 사이의 함수라고 하자. 만약 함수 f가 다음의 세 조건을 만족하면, f위상 동형 사상이라 한다.

만일 이러한 세 가지 조건을 만족시키는 함수가 두 위상 공간 사이에 존재하면, 두 위상 공간이 서로 위상 동형(영어: homeomorphic)이라고 한다.

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세잎매듭(trefoil knot)은 원과 위상동형이다. 연속적인 사상(mapping)을 항상 연속적인 물체의 변형(deformation)으로 표현가능한 것은 아니다. 그림에서 매듭을 두껍게 표현한 것은 이해를 돕기 위해서이다.
  • \mathbb{R}^2에서 단위원(unit circle)과 정사각형은 위상동형이다.
  • 개구간 (-1, +1)과 실수 전체는 위상동형이다.
  • 두 원의 곱공간S^1 \times S^1과 2차원 원환면은 위상동형이다.
  • n \ne m일 때, \mathbb{R}^n\mathbb{R}^m은 위상동형이 아니다.
  • 원환면은 서로 위상동형이 아니다.

f(\phi) = (\cos(\phi), \sin(\phi))로 정의된 함수 f : [0, 2\pi) \to S^1전단사 함수이고 연속 함수이지만, 역함수가 연속 함수가 아니므로 위상 동형 사상이 아니다. (S^1콤팩트 공간이지만 [0, 2\pi)콤팩트 공간이 아니다.)

성질[편집]

함께 보기[편집]