위상동형사상

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커피잔을 연속적으로 변형시켜서 도넛 모양으로 만들 수 있으며, 따라서 두 공간은 위상동형이다. 그러나, 이와 같은 방식으로 변형시킬 수 없으면서도 위상동형인 공간들도 있다.

위상수학에서 위상동형사상(位相同型寫像, homeomorphism)은 위상적 성질을 보존하는 동형사상(同型寫像)을 말한다. 두 공간 사이에 위상동형사상이 있을 경우, 이 둘은 서로 위상동형(位相同型, homeomorphic)이라고 한다. 위상수학적 관점에서 이 둘은 같은 공간이라고 말할 수도 있다.

[편집] 정의

위상 공간 X와 Y가 주어져 있다고 하고, 를 두 위상 공간 사이의 함수라고 하자. 만일, 함수 f가 다음의 세 조건을 만족하면, f를 위상동형사상(homeomorphism)이라 한다.

• f는 전단사함수이다.
• f는 연속함수이다.
• 역함수 f ^{− 1}도 연속이다.

만일 이러한 세 가지 조건을 만족시키는 함수가 두 위상 공간 사이에 존재하면, 우리는 두 위상 공간이 서로 위상 동형이라고 말한다.

[편집] 함께 보기

• 국소 위상동형사상
• 호모토피
• 위상적 성질
• 미분동형사상
• 고른 동형사상(uniform isomorphism)은 고른 공간들 사이의 동형사상이다.
• 등거리변환(isometry)은 거리공간들 사이의 동형사상이다.