위상동형사상

머그컵을 연속적으로 변형시켜서 도넛 모양으로 만들 수 있으며, 따라서 두 공간은 위상동형이다. 그러나, 이와 같은 방식으로 변형시킬 수 없으면서도 위상동형인 공간들도 있다.

위상수학에서 위상동형사상(位相同型寫像, homeomorphism)은 위상적 성질(topological property)을 보존하는 동형사상(同型寫像)을 말한다. 두 공간 사이에 위상동형사상이 있을 경우, 이 둘은 서로 위상동형(位相同型, homeomorphic)이라고 한다. 위상수학적 관점에서 이 둘은 같은 공간이라고 말할 수도 있다.

간단하게 설명하자면, 기하학적 물체를 찢거나 붙이지 않고 구부리거나 늘이는 것으로 다른 형태로 변형하는 것을 말한다. 그리하여 정사각형과 원은 위상동형이 된다. 그러나 구와 원환체(Torus)는 서로 위상동형이 아니다.

위상수학은 위상동형사상이 있는 두 대상이 공유하는 성질을 연구하는 학문이라 볼 수 있다.

정의

위상 공간 $(X, T_X$와 $(Y, T_Y)$가 주어져 있다고 하고, $f : X \to Y$를 두 위상 공간 사이의 함수라고 하자. 만일, 함수 $f$가 다음의 세 조건을 만족하면, $f$를 위상동형사상(homeomorphism)이라 한다.

• $f$는 전단사함수(bijection)이다.
• $f$는 연속함수이다.
• 역함수 $f^{-1}$도 연속이다.

만일 이러한 세 가지 조건을 만족시키는 함수가 두 위상 공간 사이에 존재하면, 우리는 두 위상 공간이 서로 위상 동형이라고 말한다.

예

세잎매듭(trefoil knot)은 원과 위상동형이다. 연속적인 사상(mapping)을 항상 연속적인 물체의 변형(deformation)으로 표현가능한 것은 아니다. 그림에서 매듭을 두껍게 표현한 것은 이해를 돕기 위해서이다.

• $\mathbb{R}^2$에서 단위원(unit circle)과 정사각형은 위상동형이다.
• 개구간 (-1, +1)과 실수 전체는 위상동형이다.
• 두 원의 곱집합인 $S^1 \times S^1$과 2차원 원환체(Torus)는 위상동형이다.
• $n \ne m$일 때, $\mathbb{R}^n$과 $\mathbb{R}^m$은 위상동형이 아니다.

주의사항

세 번째 $f^{-1}$가 연속이라는 조건은 필수적이다. $f(\phi) = (cos(\phi), sin(\phi))$로 정의된 함수 $f : [0, 2\pi) \to S^1$를 생각해보자. 이 함수는 전단사이고 연속이지만 위상동형함수는 아니다.

성질

• 두 위상동형인 공간은 위상적 성질(topological property)이 같다. 예를 들어 한 쪽이 컴팩트라면 다른 쪽도 그렇다. 만약 한 쪽이 연결성(connectedness)을 가진다면 다른 쪽도 그렇다. 만약 한 쪽이 하우스도르프 공간이라면 다른 쪽도 그렇다.
• 위상동형사상은 동시에 개사상(open mapping)이자 동시에 폐사상(closed mapping)이다. 즉, 개집합(open set)은 개집합에 대응되고, 폐집합(closed set)은 폐집합에 대응된다.

함께 보기

• 국소 위상동형사상
• 호모토피
• 위상적 성질
• 미분동형사상
• 고른 동형사상(uniform isomorphism)은 고른 공간들 사이의 동형사상이다.
• 등거리변환(isometry)은 거리공간들 사이의 동형사상이다.