스토크스의 정리

미분기하학에서 스토크스의 정리(Stokes' theorem)는 다양체(manifold)위의 미분형식(differential form)의 적분에 관한 정리로서, 벡터 미적분학의 몇몇 정리에서 일반화된다.

도입

미적분학의 기본정리(fundamental theorem of calculus)는 구간 $[a, b]$위의 함수 $f$의 적분은 $f$의 부정적분인 $F$를 찾는 것으로 계산할 수 있다는 정리이다.

$\int_a^b f(x)\, dx = F(b) - F(a)$

스토크스의 정리는 다음과 같은 관점에서 이 정리의 넓은 일반화이다.

• $\scriptstyle \frac{dF}{dx}=f(x)$로 $F$가 결정되는 것에서, 미분형식의 관점에서 보면 $f(x) dx$는 0-형식(0-form)의 외미분(exterior derivative)이 된다. 즉, 함수 $F$에 대해 $dF = f dx$이다. 일반화된 스토크스 정리는 $F$대신 더 높은 미분형식에서도 적용 가능하다.
• 폐구간 $[a, b]$는 경계를 갖는 일차원 다양체(one-dimensional manifold with boundary)의 간단한 예이다. 경계는 두 점 $a, b$로 이루어진 집합이 된다. 구간위의 함수 $f$를 적분하는 것은 고차원 다양체위에서 형식(form)을 적분하는 것으로 일반화할 수 있다. 두 가지 기술적인 조건이 필요한데, 다양체는 방향성(Orientability)을 가져야 하고, 적분이 잘 정의되기 위해 형식(form)은 옹골받침(compact support)을 가져야 한다.
• 두 점 $a, b$는 구간 $[a, b]$의 경계가 된다. 더 일반적으로, 스토크스의 정리는 경계를 갖는 방향성 다양체$M$(oriented manifold with boundary)에 적용된다. $M$의 경계인 $\partial M$은 그 자체로 다양체가 되고, $M$이 방향성을 가짐에 따라 자연스럽게 방향성을 가진다. 예를 들어 주어진 구간의 방향성은 두 경계점의 방향성을 준다. 직관적으로, 점 $a$는 점 $b$ 방향으로 방향성을 가진다고 볼 수 있다.

그러므로 기본정리는 다음과 같이 해석된다.

$\int_{[a, b]} f(x)\,dx = \int_{[a, b]} dF = \int_{\{a\}^- \cup \{b\}^+} F = F(b) - F(a).$

일반화된 공식

2차원 다양체에서의 적분 (그림에서는 $\Omega$ 대신 $D$로 표기됨)

$\Omega$는 n차원 방향성이 있는 미분다양체(oriented smooth manifold of dimension n)라고 하자. $\omega$는 (n-1)-형식((n−1)-form)이고 $\Omega$에서 옹골받침(compact support)을 가진다. $\partial\Omega$를 $\Omega$의 경계라고 하면, 다음 등식이 성립한다.

$\int_\Omega \mathrm {d}\omega = \oint_{\partial \Omega} \omega$

여기서 $\,\mathrm {d}$는 외미분(exterior derivative)을 의미한다.

특수한 경우

케빈-스토크스 정리(Kelvin-Stokes theorem)

스토크스 정리의 고전적인 형태로서 케빈-스토크스 정리(Kelvin-Stokes theorem)라고도 한다. 3차원 공간상의 폐곡선에서 수행되는 선적분은 스토크스의 정리에 의해 주어진 폐곡선이 둘러싼 임의의 곡면 $R$에서의 면적분으로 변환될 수 있다. 역도 가능하다.

$\oint_{\partial R}{\mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}} = \iint_{R}{\operatorname{curl}\,\mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}}$

그린 정리(Green's theorem)

이 부분의 본문은 그린 정리입니다.

그린 정리(Green's theorem)도 2차원 다양체의 관점에서 마찬가지로 스토크스 정리의 특수한 형태라고 볼 수 있다. 스토크스 정리에서 즉시 유도된다.

발산 정리(Divergence theorem)

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발산 정리(Divergence theorem)도 유클리드 공간에서 부피 형식(volume form)에 대한 스토크스 정리의 특수한 형태가 된다.

함께 보기

• 그린 정리
• 가우스의 발산정리
• 그린의 항등식