천-사이먼스 형식

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미분위상수학에서, 천-사이먼스 형식(Chern–Simons form)은 리 대수값을 가진 미분형식(게이지 퍼텐셜)으로부터 주어지는, 미분다양체위상수학적인 성질을 나타내는 홀수 차수의 미분형식이다. 3차 천-사이먼스 형식은 이론 물리학에서 천-사이먼스 이론라그랑지언으로 쓰인다.

역사[편집]

천싱선제임스 해리스 사이먼스가 1974년에 도입하였다.[1]

정의[편집]

매끈한 다양체 M 위에 A리 대수 \mathfrak g에 대한 값을 가지는 1차 미분형식이라고 하자. 이는 주다발의 접속으로, 또는 게이지 이론의 퍼텐셜로 생각할 수 있다. 그렇다면 다음과 같은 2차 미분형식 F를 정의하자.

F=dA+A\wedge A=dA+\frac12[A\wedge A].

이는 주다발의 곡률로, 또는 게이지 이론패러데이 텐서로 생각할 수 있다.

(2k-1)천-사이먼스 형식 \omega_{2k-1}은 다음을 만족하는 (2k-1)미분형식이다.

d\omega_{2k-1}=\operatorname{tr}(F^k)=\operatorname{tr}(F\wedge\cdots\wedge F).

낮은 차수의 천-사이먼스 형식[편집]

1차, 3차, 5차, 7차 천-사이먼스 형식은 다음과 같다.

\omega_1=\operatorname{tr}A
\omega_3=\operatorname{tr}\left(F\wedge A-\frac13A\wedge A\wedge A\right)
\omega_5=\operatorname{tr}\left(F\wedge F\wedge A-\frac12F\wedge A\wedge A\wedge A+\frac1{10}A\wedge A\wedge A\wedge A\wedge A\right)
\omega_7=\operatorname{tr}\left(\frac47A\wedge A\wedge A\wedge A\wedge A\wedge A\wedge A+2dA\wedge A\wedge A\wedge A\wedge A\wedge A+\frac83dA\wedge dA\wedge A\wedge A\wedge A+\frac43dA\wedge A\wedge dA\wedge A\wedge A+dA\wedge dA\wedge dA\wedge A\right)

참고 문헌[편집]

  1. Shiing-Shen Chern, James Simons (1974년 1월). Characteristic forms and geometric invariants. 《Annals of Mathematics》 99 (1): 48–69. doi:10.2307/1971013. MR0353327. Zbl 0283.53036.

같이 보기[편집]