순간자

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양자역학양자장론에서, 순간자(瞬間子, instanton 인스턴톤[*]) 또는 잠깐알은 윅 회전을 가한 이론의, 유한한 작용을 가진 고전해이다.[1][2][3] 이는 윅 회전을 한 유클리드 시공간에서 국소화되어 있어, 유클리드 시공간에서 입자처럼 간주할 수 있다. (물론 이는 민코프스키 공간에서는 성립하지 않는다.) 순간자의 존재는 섭동 이론에는 나타나지 않는 터널 효과를 나타낸다. WKB 근사에 의한 터널링을 다룰 때나, 양-밀스 이론(양자 색역학)에 등장한다. 초대칭 게이지 이론과도 관련이 있다.

역사[편집]

알렉산드르 벨라빈(러시아어: Алекса́ндр Абрамо́вич Бела́вин), 알렉산드르 마르코비치 폴랴코프, 알베르트 솔로모노비치 시바르츠(러시아어: Альбе́рт Соломо́нович Шварц), 유리 스테파노비치 튭킨(러시아어: Юрий Степанович Тюпкин)이 순간자수가 1인 순간자를 최초로 발견하였다.[4] 이들은 유사입자(영어: pseudoparticle)라는 이름을 사용하였다.[1]:271 헤라르뒤스 엇호프트가 이러한 해들을 어떤 시간 간격에만 존재했다가 사라진다는 의미로 "순간자"(영어: instanton)라고 이름붙였다.[1]:271

양-밀스 이론의 순간자[편집]

순간자의 가장 대표적인 예는 4차원 유클리드 공간양-밀스 이론에서 작용을 국소적으로 최소화시키는 상태들이다. 이들은 보고몰니-프라사드-소머필드 부등식(영어: Bogomol’nyi–Prasad–Sommerfield bound, BPS 부등식)을 충족시킨다.[5][6]

순간자수[편집]

4차원 유클리드 공간 위에, 게이지 군 G를 가진 양-밀스 이론을 생각하자. 그 작용은 다음과 같다.

S=\frac1{2e^2}\int_{\mathbb R^4}\operatorname{tr} F^2\,d^4x

여기서

F_{ij}=t^aF^a_{ij}=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu+i[A_\mu,A_\nu]

는 게이지 장세기이고, t^a리 대수 \mathfrak g의 기저이다. 리 대수의 기저는

\operatorname{tr}(t^at^b)=\frac12t^at^b
[t^a,t^b]=if^{abc}t^c

가 되게 규격화한다.

이 이론에서, 작용이 유한한 상태들을 생각하자. 작용이 유한하므로, 원점에서 무한히 먼 곳\Vert x\Vert\to\infty에서는 F\to 0이어야 한다. 그러나 이 경우 게이지 퍼텐셜 A_\mu위상수학적으로 자명하지 않을 수 있다. 즉,

A_\mu(x)=g(x)^{-1}\partial_\mu g(x) (g(x)\in G)

의 꼴의 퍼텐셜은 장세기가 0이다. 4차원 유클리드 공간 \mathbb R^4의 무한대는 S^3이므로, 무한대에서 게이지 퍼텐셜은 연속함수

A\colon S^3\to G

를 정의한다. 서로 호모토픽한 게이지 퍼텐셜들은 물리적으로 같은 상태를 나타내지만, 호모토픽하지 않은 상태들은 서로 다른 상태를 나타낸다. 따라서, 유한 작용 상태들은 게이지 군 G의 3차 호모토피 군에 의하여 분류된다.

[A]\in\pi_3(G)

흔히 쓰이는 게이지 군의 경우,

\pi_3(\operatorname{SU}(N))=\mathbb Z (N\ge 2)
\pi_3(\operatorname{SO}(N))=\mathbb Z (N=3 또는 N>5)

이다. 이 경우, 무한대에서의 게이지 퍼텐셜의 호모토피류는 정수에 의하여 분류된다. 이 수를 순간자수(영어: instanton number)라고 하며, 대략 순간자의 수를 나타낸다. 만약 순간자수가 음수라면, 이는 반순간자(영어: anti-instanton)가 존재함을 뜻한다. SU(N)의 경우, 순간자수 k는 다음과 같다.

k=\frac1{24\pi^2}\int_{\Vert x\Vert=\infty}d^3x\,\hat n_\mu\operatorname{tr}\left(A_\nu A_\rho A_\sigma)\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}\right)
A_\mu=(\partial_\mu g)g^{-1}

여기서 \hat n^\muS^3의 단위 수직 벡터이며, \epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}는 (유클리드 계량 부호수) 레비치비타 기호다.

자기쌍대형식[편집]

4차원 리만 다양체 M에서, 2차 미분형식들은 호지 쌍대에 따라

*\colon\Omega^2(M)\to\Omega^2(M)

가 존재한다. 또한, 유클리드 계량 부호수에서는 2차 미분형식에 대하여

*^2=1

이므로, 호지 쌍대 연산자 *고윳값\pm1이다. 따라서, 2차 미분형식들의 공간은 고윳값에 따라

\Omega^2(M)=\Omega^2_+(M)\oplus\Omega^2_-(M)

으로 분해된다. 여기서 \Omega^2_+(M)의 원소는 자기쌍대(영어: self-dual), \Omega^2_-(M)의 원소는 반자기쌍대(영어: anti-self-dual)라고 한다. 구체적으로, 2차 미분형식 F가 주어지면,

F=F_++F_-
*F_\pm=\pm F_\pm
F_\pm=(F\pm *F)/2

으로 분해할 수 있다. 또한, (리 대수 값을 갖는) 2차 미분형식들의 공간에서는 다음과 같은 내적 \langle,\rangle이 존재한다.

\langle A,B\rangle=\frac1{2e^2}\int_Md^4x\,\operatorname{tr}(A_{\mu\nu}B^{\mu\nu})

이에 따라 양-밀스 작용은

S=\langle F,F\rangle

가 된다.

BPS 부등식[편집]

장세기를 자기쌍대 및 반자기쌍대 성분으로 분해하자.

F=F_++F_-

그렇다면

S=\langle F,F\rangle=\langle F_+,F_+\rangle+\langle F_-,F_-\rangle\ge|\langle F_+,F_+\rangle-\langle F_-,F_-\rangle|=|\langle F,*F\rangle|=\frac{8\pi^2}{e^2}|k|

이다. 여기서 k는 순간자수이다. 따라서, 주어진 순간자수 k를 가진 상태의 작용은 다음과 같은 BPS 부등식을 만족시킨다.

S\ge\frac{8\pi^2}{e^2}|k|

이 부등식을 등식으로 만드는 게이지 퍼텐셜들을 순간자라고 한다. 이들은

F_+=0 또는 F_-=0,

F_{\mu\nu}=\pm*F_{\mu\nu}

를 만족시킨다. 이런 상태들은 자동적으로 오일러-라그랑주 방정식

D_\mu F^{\mu\nu}=D_\mu(*F)^{\mu\nu}=0

을 만족시키므로, 작용을 최소화시킴을 알 수 있다.

순간자 모듈러스 공간[편집]

순간자의 모듈러스 공간초켈러 다양체를 이룬다. 초켈러 다양체의 차원은 항상 4의 배수이다. 일반적으로, 게이지군이 G인 게이지 이론에서, k개의 순간자를 포함한 상태의 모듈러스 공간의 차원은 아티야-싱어 지표 정리로 계산할 수 있고, 다음과 같다.[7][8]:§2

\dim_{\mathbb R}\mathcal M_{k,G}=4|k|h^\vee(G)

이다. 여기서 h^\vee(G)G이중 콕세터 수의 네 배이다. 모든 순간자들을 평행이동시킬 수 있고, 이 방향으로는 모듈러스 공간이 평탄하다. 평탄하지 않은 방항으로의 모듈러스 공간 \widetilde{\mathcal M}_{k,G}의 차원은

\dim\widetilde{\mathcal M}_{k,G}=4|k|h^\vee(G)-4

이다. \mathcal M_{k,G}\widetilde{\mathcal M}_{k,G} 둘 다 초켈러 다양체이다.

예를 들어, G=SU(N)인 경우 h^\vee=N이고, 모듈러스 공간의 차원은 4N|k|이다.[9]:9–12 하나의 순간자(k=1)인 경우, 이는 다음과 같다.

  • 4차원 공간 속에 점입자이므로, 4개의 평행이동(translation) 자유도가 있다.
  • 4차원 순수 양-밀스 이론(또는 \mathcal N=4 초대칭 게이지 이론)은 등각 장론이므로, 순간자의 크기를 마음대로 놓을 수 있다. 이에 따라 1개의 확대변환(dilatation) 자유도가 있다.
  • SU(2)\cong S^3이므로, 원점에서 무한히 떨어진 S^3에서 순간자의 게이지 퍼텐셜은 이 SU(2)를 따라 감기게 된다. SU(2)는 3차원이므로, 무한대에서 상수(constant) 게이지 변환 3개가 있다.
  • SU(N)에서 SU(2) 부분군을 골라야 하는데, 이 모듈러스 공간은 잉여류 공간
\frac{SU(N)}{(U(2)\times U(N-2))/U(1)}=\frac{U(N)}{U(2)\times U(N-2)}
이고, 그 차원은
N^2-4-(N-2)^2=4N-8
이다.

따라서 하나의 순간자의 모듈러스 공간의 차원은

4+1+3+4N-8=4N

이다. k개의 순간자가 있다면, 순간자들이 멀리 떨어져 있을 경우 차원이 4kN이 되며, 모듈러스 공간의 차원은 일정하므로 이는 순간자들이 서로 가까이 있을 때에도 성립한다.

ADHM 작도[편집]

순간자의 모듈러스 공간은 \mathcal N=2 게이지 이론의 힉스 가지(영어: Higgs branch)로 나타낼 수 있다. 이를 통해 순간자를 힉스 가지의 모듈러스로 작도할 수 있다. 이를 ADHM 작도라고 한다.[10][9] 마이클 아티야, 블라디미르 드린펠트, 나이절 히친, 유리 마닌이 1978년에 3쪽밖에 되지 않는 유명한 논문에 발표하였다.[11]

참고 문헌[편집]

  1. Coleman, Sidney (1985). 〈Uses of Instantons〉, 《Aspects of Symmetry》. Cambridge, U.K.: Cambridge University Press, 265–350쪽. doi:10.1017/CBO9780511565045.008. Bibcode1988assy.book.....C. ISBN 9780521267069
  2. Rajaraman, R. (1987). 《Solitons and Instantons》. Amsterdam: North Holland. ISBN 0-444-87047-4
  3. (영어) Weinberg, Erick J. (2012년 10월). 《Classical Solutions in Quantum Field Theory: Solitons and Instantons in High Energy Physics》, Cambridge Monographs on Mathematical Physics. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9781139017787. ISBN 978-0-5211-1463-9
  4. (영어) Belavin, A. A., A. M. Polyakov, A. S. Schwartz, Yu. S. Tyupkin (1975년). Pseudoparticle solutions of the Yang-Mills equations. 《Physics Letters B》 59: 85–87. doi:10.1016/0370-2693(75)90163-X. Bibcode1975PhLB...59...85B.
  5. Bogomol’nyi, E. B. (1976년). . 《Soviet Journal of Nuclear Physics》 24: 449.
  6. (영어) Prasad, M. K., Charles H. Sommerfield (1975년 9월 22일). Exact classical solution for the ’t Hooft monopole and the Julia–Zee dyon. 《Physical Review Letters》 35 (12): 760–762. doi:10.1103/PhysRevLett.35.760. ISSN 0031-9007.
  7. (영어) Bernard, Claude W., Norman H. Christ, Alan H. Guth, Erick J. Weinberg (1977년 11월 15일). Pseudoparticle parameters for arbitrary gauge groups. 《Physical Review D》 16 (10): 2967–2977. doi:10.1103/PhysRevD.16.2967. Bibcode1977PhRvD..16.2967B. ISSN 1550-7998.
  8. (영어) Benvenuti, Sergio, Amihay Hanany, Noppadol Mekareeya (2010년 6월). The Hilbert Series of the One Instanton Moduli Space. 《Journal of High Energy Physics》 2010 (6): 100. arXiv:1005.3026. doi:10.1007/JHEP06(2010)100. Bibcode2010JHEP...06..100B. ISSN 1029-8479.
  9. (영어) Tong, David (2005년). TASI lectures on solitons. arXiv:hep-th/0509216. Bibcode2005hep.th....9216T.
  10. (영어) Dorey, Nick, Timothy J. Hollowood, Valentin V. Khoze, Michael P. Mattis (2002년 12월). The calculus of many instantons. 《Physics Reports》 371 (4-5): 231-459. arXiv:hep-th/0206063. doi:10.1016/S0370-1573(02)00301-0. Bibcode2002PhR...371..231D.
  11. (영어) Atiyah, Michael Francis, Vladimir Drinfeld, Nigel Hitchin, Yuri Manin (1978년 3월 6일). Construction of instantons. 《Physics Letters A》 65 (3): 185–187. doi:10.1016/0375-9601(78)90141-X. Bibcode1978PhLA...65..185A. MR598562. Zbl 0424.14004. ISSN 0375-9601.

바깥 고리[편집]