WKB 근사

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양자역학에서, WKB 근사(WKB approximation)는 슈뢰딩거 방정식을 풀 때, 순수하게 양자역학적인 효과가 작아 파동 함수의 진폭 또는 위상이 거의 일정하다는 가정 아래 푸는 근사법이다.

역사[편집]

1923년에 영국의 수학자 해럴드 제프리스(Harold Jeffreys)가 이 근사법을 이차 미분 방정식에 대한 일반적인 근사법으로 도입하였다.[1]. 1925년 슈뢰딩거 방정식이 발표되자, 그 이듬해인 1926년에 독일의 그레고어 벤첼(Gregor Wentzel)[2], 네덜란드의 헨드릭 안토니 크라머르스[3], 프랑스의 레옹 브릴루앵[4]이 독자적으로 이에 대한 근사법을 발표하였다. 넷 다 사실상 같은 방법이었으나 이들은 서로의 업적을 처음에 알지 못했다. 이에 따라 보통 WKB 또는 JWKB 근사법으로 불린다.

전개[편집]

1차원 공간에서 에너지 E를 가지고 퍼텐셜 V(x)에 영향을 받는 입자의 파동 함수 \Psi(x)는 다음과 같은 시간 무관 슈뢰딩거 방정식을 따른다.

-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}x^2} \Psi(x) + V(x) \Psi(x) = E \Psi(x).

이제 파동 함수 \Psi를 다음과 같이 그 로그의 실수 및 허수 성분의 도함수로 나타내자.

\Psi(x)=\exp\left(\int (A(x)+iB(x))\,dx\right).

이를 슈뢰딩거 방정식에 대입하여 정리하면 다음과 같은 두 방정식을 얻는다.

A'(x) + A(x)^2 - B(x)^2 = \frac{2m}{\hbar^2} \left( V(x) - E \right)
B'(x) + 2 A(x) B(x) = 0.

이 연립 미분 방정식을 풀기 위해, 다음과 같은 반고전 근사법(semiclassical approximation)을 취한다. 우선, 파동 함수 성분AB디랙 상수 \hbar에 대한 테일러 급수로 전개한다. (위 식에 따라 A,B=O(1/\hbar)이므로 그 첫 항은 \hbar^0이 아니라 \hbar^{-1}이 된다.)

A(x)=\sum_{n=0}^\infty \hbar^{n-1} A_n(x)
B(x)=\sum_{n=0}^\infty \hbar^{n-1} B_n(x).

디랙 상수는 아주 작으므로, 급수의 가장 낮은 차수의 항부터 먼저 보자.

A_0(x)^2-B_0(x)^2=2m\left( V(x) - E \right)
A_0(x)B_0(x)=0.

두 번째 방정식에 따라 A_0=0 또는 B_0=0이다. 첫 번째 방정식에 따라 V(x)<E이면 A_0=0, B_0\ne0으로, V(x)>E이면 A_0\ne0, B_0=0으로 놓는다. 전자는 고전적인 경우, 후자는 터널링이 일어나는 경우를 나타낸다.

그 다음 차수의 항은 다음과 같다.

A_0'(x)+2A_0(x)A_1(x)-2B_0(x)B_1(x)=0
B_0'(x)+2A_0(x)B_1(x)+2A_1(x)B_0(x)=0.

첫 번째 식에 의해, A_0=0이면 B_1=0이다. 두 번째 식에 의해, B_0=0이어도 B_1=0이다.

고전적인 경우 (V<E)[편집]

이 경우는 총 에너지 E가 위치 에너지 V(x)보다 더 크므로, 입자가 고전적으로 존재할 수 있는 영역이다. 여기서는 A_0=0이고,

B_0(x)=\pm\sqrt{ 2m \left( E - V(x) \right) }

이다. 이는 파동 함수의 진폭(A)은 별로 변하지 않지만 그 위상(B)이 많이 변하는 꼴이다.

다음 차수의 항 A_1을 구하면 다음과 같다.

A_1=-B_0'/2B_0=-\frac12(\ln B_0)'.

따라서 파동 함수 \Psi(x)는 대략

\Psi(x)\approx CB_0^{-1/2}\exp\left(i\int B_0\,dx\right)=\frac{C_+\exp\left(i \int \sqrt{\frac{2m}{\hbar^2} \left( E - V(x) \right)} dx\right)+
C_-\exp\left(-i \int \sqrt{\frac{2m}{\hbar^2} \left( E - V(x) \right)} dx\right)
}{\sqrt[4]{\frac{2m}{\hbar^2} \left( E - V(x) \right)}}

으로 근사할 수 있다. 여기서 C_+C_-는 임의의 적분 상수이다. 이에 따라, 고전적인 영역에서는 파동 함수는 대략 사인파의 모양이다.

터널링 (V>E)[편집]

이 경우는 위치 에너지 V가 총 에너지 E보다 더 크므로 입자가 고전적으로 존재할 수 없는 영역이다. 즉, 터널링에 해당한다. 여기에는 B_0(x) = 0이고,

A_0(x) = \pm \sqrt{ 2m \left( V(x) - E \right) }

이다. 다음 차수의 항 A_1을 구하면 다음과 같다.

A_1=-A_0'/2A_0=-\frac12(\ln A_0)'.

따라서 파동 함수 \Psi(x)는 대략

\Psi(x)\approx DA_0^{-1/2}\exp\left(\int A_0\,dx\right)=\frac{ D_{+}\exp\left(\int\sqrt{\frac{2m}{\hbar^2} \left( V(x) - E \right)}\,dx\right) + D_{-} \exp\left(-\int\sqrt{\frac{2m}{\hbar^2} \left( V(x) - E \right)}\,dx\right)}{\sqrt[4]{\frac{2m}{\hbar^2} \left( V(x) - E \right)}}

으로 근사할 수 있다. 여기서 D_+D_-는 임의의 적분 상수이다. 이에 따라, 터널링 영역에서는 파동 함수는 지수 함수의 모양을 따른다.

연결 공식[편집]

고전적인 경우와 터널링인 경우의 해는 V\approx E가 되는 점 근처에서 발산한다. 따라서 이런 점 근처에는 연결 공식(connection formula)를 사용하여 두 해의 계수 C_\pm, D_\pm를 (전체 파동 함수가 연속 미분 가능하게끔) 서로 맞추어야 한다.

고전적인 영역과 터널링 영역이 x_0에서 만난다고 하자. 즉,

V(x_0)=E

이라고 하자. 그렇다면 x_0 근처에서 퍼텐셜 V(x)

V(x)\approx V'(x_0)(x-x_0)+E

와 같이 근사할 수 있다. 그렇다면 풀어야 할 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같다.

\frac{\hbar^2}{2m}\Psi''=V'(x_0)\Psi(x)(x-x_0).

이는 에어리 함수를 사용하여 풀 수 있다. 그 일반적인 해는 다음과 같다.

\Psi(x)=aAi(\sqrt[3]{2mV'(x_0)/\hbar^2}x)+bBi(\sqrt[3]{2mV'(x_0)/\hbar^2}x).

여기서 ab는 임의의 상수이다.

x\gg1일 때, 에어리 함수는 다음을 만족한다.

Ai(x)\approx\frac{\exp(-\frac23x^{3/2})}{2\sqrt{\pi}x^{1/4}} (분모에 2가 있는 것에 주의!)
Bi(x)\approx\frac{\exp(\frac23x^{3/2})}{\sqrt{\pi}x^{1/4}}
Ai(-x)\approx\frac{\sin(\frac23x^{3/2}+\pi/4)}{\sqrt{\pi}x^{1/4}}
Bi(-x)\approx\frac{\cos(\frac23x^{3/2}+\pi/4)}{\sqrt{\pi}x^{1/4}}.

이를 고전적 영역의 해와 터널링 영역의 해와 비교하면 계수 사이의 관계를 얻을 수 있다. 이를 연결 공식이라고 한다. 예를 들어, x<x_0은 고전적인 영역이고, x>x_0은 터널링 영역이라고 하자. 그렇다면

D_+-2iD_-=2C_+\exp(-i\pi/4)
D_++2iD_-=2C_-\exp(i\pi/4)

이다. 그 반대로, x>x_0이 고전적이고 x<x_0이 터널링인 경우에도 유사한 공식을 유도할 수 있다.

참고 문헌[편집]

  1. Jeffreys, Harold. On Certain Approximate Solutions of Lineae Differential Equations of the Second Order. 《Proceedings of the London Mathematical Society》 s2-23 (1): 428–436. doi:10.1112/plms/s2-23.1.428.
  2. Wentzel, Gregor (1926년). Eine Verallgemeinerung der Quantenbedingungen für die Zwecke der Wellenmechanik. 《Zeitschrift für Physik A》 38 (6–7): 518–529. doi:10.1007/BF01397171.
  3. Kramers, Hendrik Anthony (1926년). Wellenmechanik und halbzahlige Quantisierung. 《Zeitschrift für Physik A》 39 (10–11): 828–840. doi:10.1007/BF01451751.
  4. Brillouin, Léon. La mécanique ondulatoire de Schrödinger: une méthode générale de resolution par approximations successives. 《Comptes Rendus de l'Academie des Sciences》 183: 24–26.

같이 보기[편집]