WKB 근사

양자역학

$\Delta x\, \Delta p \ge \frac{\hbar}{2}$

불확정성 원리

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양자역학에서, WKB 근사(WKB approximation)는 슈뢰딩거 방정식을 풀 때, 순수하게 양자역학적인 효과가 작아 파동 함수의 진폭 또는 위상이 거의 일정하다는 가정 아래 푸는 근사법이다.

역사

1923년에 영국의 수학자 해럴드 제프리스(Harold Jeffreys)가 이 근사법을 이차 미분 방정식에 대한 일반적인 근사법으로 도입하였다.. 1925년 슈뢰딩거 방정식이 발표되자, 그 이듬해인 1926년에 독일의 그레고르 벤첼(Gregor Wentzel), 네덜란드의 헨드릭 안토니 크라머르스(Hendrik Anthony Kramers), 프랑스의 레옹 브릴루앵이 독자적으로 이에 대한 근사법을 발표하였다. 넷 다 사실상 같은 방법이었으나 이들은 서로의 업적을 처음에 알지 못했다. 이에 따라 보통 WKB 또는 JWKB 근사법으로 불린다.

전개

1차원 공간에서 에너지 $E$를 가지고 퍼텐셜 $V(x)$에 영향을 받는 입자의 파동 함수 $\Psi(x)$는 다음과 같은 시간 무관 슈뢰딩거 방정식을 따른다.

$-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}x^2} \Psi(x) + V(x) \Psi(x) = E \Psi(x)$.

이제 파동 함수 $\Psi$를 다음과 같이 그 로그의 실수 및 허수 성분의 도함수로 나타내자.

$\Psi(x)=\exp\left(\int (A(x)+iB(x))\,dx\right)$.

이를 슈뢰딩거 방정식에 대입하여 정리하면 다음과 같은 두 방정식을 얻는다.

$A'(x) + A(x)^2 - B(x)^2 = \frac{2m}{\hbar^2} \left( V(x) - E \right)$

$B'(x) + 2 A(x) B(x) = 0$.

이 연립 미분 방정식을 풀기 위해, 다음과 같은 반고전 근사법(semiclassical approximation)을 취한다. 우선, 파동 함수 성분$A$와 $B$를 디랙 상수 $\hbar$에 대한 테일러 급수로 전개한다. (위 식에 따라 $A,B=O(1/\hbar)$이므로 그 첫 항은 $\hbar^0$이 아니라 $\hbar^{-1}$이 된다.)

$A(x)=\sum_{n=0}^\infty \hbar^{n-1} A_n(x)$

$B(x)=\sum_{n=0}^\infty \hbar^{n-1} B_n(x)$.

디랙 상수는 아주 작으므로, 급수의 가장 낮은 차수의 항부터 먼저 보자.

$A_0(x)^2-B_0(x)^2=2m\left( V(x) - E \right)$

$A_0(x)B_0(x)=0$.

두 번째 방정식에 따라 $A_0=0$ 또는 $B_0=0$이다. 첫 번째 방정식에 따라 $V(x)<E$이면 $A_0=0$, $B_0\ne0$으로, $V(x)>E$이면 $A_0\ne0$, $B_0=0$으로 놓는다. 전자는 고전적인 경우, 후자는 터널링이 일어나는 경우를 나타낸다.

그 다음 차수의 항은 다음과 같다.

$A_0'(x)+2A_0(x)A_1(x)-2B_0(x)B_1(x)=0$

$B_0'(x)+2A_0(x)B_1(x)+2A_1(x)B_0(x)=0$.

첫 번째 식에 의해, $A_0=0$이면 $B_1=0$이다. 두 번째 식에 의해, $B_0=0$이어도 $B_1=0$이다.

고전적인 경우 ($V<E$)

이 경우는 총 에너지 $E$가 위치 에너지 $V(x)$보다 더 크므로, 입자가 고전적으로 존재할 수 있는 영역이다. 여기서는 $A_0=0$이고,

$B_0(x)=\pm\sqrt{ 2m \left( E - V(x) \right) }$

이다. 이는 파동 함수의 진폭($A$)은 별로 변하지 않지만 그 위상($B$)이 많이 변하는 꼴이다.

다음 차수의 항 $A_1$을 구하면 다음과 같다.

$A_1=-B_0'/2B_0=-\frac12(\ln B_0)'$.

따라서 파동 함수 $\Psi(x)$는 대략

$\Psi(x)\approx CB_0^{-1/2}\exp\left(i\int B_0\,dx\right)=\frac{C_+\exp\left(i \int \sqrt{\frac{2m}{\hbar^2} \left( E - V(x) \right)} dx\right)+ C_-\exp\left(-i \int \sqrt{\frac{2m}{\hbar^2} \left( E - V(x) \right)} dx\right) }{\sqrt[4]{\frac{2m}{\hbar^2} \left( E - V(x) \right)}}$

으로 근사할 수 있다. 여기서 $C_+$와 $C_-$는 임의의 적분 상수이다. 이에 따라, 고전적인 영역에서는 파동 함수는 대략 사인파의 모양이다.

터널링 ($V>E$)

이 경우는 위치 에너지 $V$가 총 에너지 $E$보다 더 크므로 입자가 고전적으로 존재할 수 없는 영역이다. 즉, 터널링에 해당한다. 여기에는 $B_0(x) = 0$이고,

$A_0(x) = \pm \sqrt{ 2m \left( V(x) - E \right) }$

이다. 다음 차수의 항 $A_1$을 구하면 다음과 같다.

$A_1=-A_0'/2A_0=-\frac12(\ln A_0)'$.

따라서 파동 함수 $\Psi(x)$는 대략

$\Psi(x)\approx DA_0^{-1/2}\exp\left(\int A_0\,dx\right)=\frac{ D_{+}\exp\left(\int\sqrt{\frac{2m}{\hbar^2} \left( V(x) - E \right)}\,dx\right) + D_{-} \exp\left(-\int\sqrt{\frac{2m}{\hbar^2} \left( V(x) - E \right)}\,dx\right)}{\sqrt[4]{\frac{2m}{\hbar^2} \left( V(x) - E \right)}}$

으로 근사할 수 있다. 여기서 $D_+$와 $D_-$는 임의의 적분 상수이다. 이에 따라, 터널링 영역에서는 파동 함수는 지수 함수의 모양을 따른다.

연결 공식

고전적인 경우와 터널링인 경우의 해는 $V\approx E$가 되는 점 근처에서 발산한다. 따라서 이런 점 근처에는 연결 공식(connection formula)를 사용하여 두 해의 계수 $C_\pm$, $D_\pm$를 (전체 파동 함수가 연속 미분 가능하게끔) 서로 맞추어야 한다.

고전적인 영역과 터널링 영역이 $x_0$에서 만난다고 하자. 즉,

$V(x_0)=E$

이라고 하자. 그렇다면 $x_0$ 근처에서 퍼텐셜 $V(x)$를

$V(x)\approx V'(x_0)(x-x_0)+E$

와 같이 근사할 수 있다. 그렇다면 풀어야 할 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같다.

$\frac{\hbar^2}{2m}\Psi''=V'(x_0)\Psi(x)(x-x_0)$.

이는 에어리 함수를 사용하여 풀 수 있다. 그 일반적인 해는 다음과 같다.

$\Psi(x)=aAi(\sqrt[3]{2mV'(x_0)/\hbar^2}x)+bBi(\sqrt[3]{2mV'(x_0)/\hbar^2}x)$.

여기서 $a$와 $b$는 임의의 상수이다.

$x\gg1$일 때, 에어리 함수는 다음을 만족한다.

$Ai(x)\approx\frac{\exp(-\frac23x^{3/2})}{2\sqrt{\pi}x^{1/4}}$ (분모에 2가 있는 것에 주의!)

$Bi(x)\approx\frac{\exp(\frac23x^{3/2})}{\sqrt{\pi}x^{1/4}}$

$Ai(-x)\approx\frac{\sin(\frac23x^{3/2}+\pi/4)}{\sqrt{\pi}x^{1/4}}$

$Bi(-x)\approx\frac{\cos(\frac23x^{3/2}+\pi/4)}{\sqrt{\pi}x^{1/4}}$.

이를 고전적 영역의 해와 터널링 영역의 해와 비교하면 계수 사이의 관계를 얻을 수 있다. 이를 연결 공식이라고 한다. 예를 들어, $x<x_0$은 고전적인 영역이고, $x>x_0$은 터널링 영역이라고 하자. 그렇다면

$D_+-2iD_-=2C_+\exp(-i\pi/4)$

$D_++2iD_-=2C_-\exp(i\pi/4)$

이다. 그 반대로, $x>x_0$이 고전적이고 $x<x_0$이 터널링인 경우에도 유사한 공식을 유도할 수 있다.

참고 문헌

• Gough, Douglas Owen (2004년 3월). An Elementary Introduction to the JWKB Approximation. 《Astronomische Nachrichten》 328 (3–4): 273–285. doi:10.1002/asna.200610730. arXiv:astro-ph/0702201

같이 보기

• 투과계수