에어리 함수

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에어리 함수의 그래프

수학에서, 에어리 함수(Airy function)는 특수 함수의 한 종류다. 두 개가 있으며, 기호는 Ai와 Bi다. 조지 비델 에어리가 광학을 연구하기 위해 1838년에 도입하였다.[1]

정의[편집]

다음과 같은 f(x)에 대한 이차 선형 상미분 방정식에어리 미분 방정식(Airy differential equation)이라고 한다.

f''(x)=xf(x).

에어리 함수는 에어리 미분 방정식의 두 개의 독립적인 해로, 에어리 미분 방정식의 일반적인 해는 두 에어리 함수의 선형결합이다. 에어리 함수는 다음과 같이 적분으로 표현할 수 있다.

\operatorname{Ai}(x) = \frac1\pi \int_0^\infty \cos(t^3/3+xt)\,dt
\operatorname{Bi}(x) = \frac1\pi \int_0^\infty\left[\exp\left(-\tfrac13t^3 + xt\right) + \sin\left(\tfrac13t^3 + xt\right)\right]\,dt.

성질[편집]

x\gg1일 때, 에어리 함수는 다음을 만족한다.

Ai(x)\approx\frac{\exp(-\frac23x^{3/2})}{2\sqrt{\pi}x^{1/4}} (분모에 2가 있는 것에 주의!)
Bi(x)\approx\frac{\exp(\frac23x^{3/2})}{\sqrt{\pi}x^{1/4}}
Ai(-x)\approx\frac{\sin(\frac23x^{3/2}+\pi/4)}{\sqrt{\pi}x^{1/4}}
Bi(-x)\approx\frac{\cos(\frac23x^{3/2}+\pi/4)}{\sqrt{\pi}x^{1/4}}.

그래프[편집]

\Re \left[ \mathrm{Ai} ( x + iy) \right] \Im \left[ \mathrm{Ai} ( x + iy) \right] | \mathrm{Ai} ( x + iy) | \, \mathrm{arg} \left[ \mathrm{Ai} ( x + iy) \right] \,
AiryAi Real Surface.png AiryAi Imag Surface.png AiryAi Abs Surface.png AiryAi Arg Surface.png
AiryAi Real Contour.svg AiryAi Imag Contour.svg AiryAi Abs Contour.svg AiryAi Arg Contour.svg
\Re \left[ \mathrm{Bi} ( x + iy) \right] \Im \left[ \mathrm{Bi} ( x + iy) \right] | \mathrm{Bi} ( x + iy) | \, \mathrm{arg} \left[ \mathrm{Bi} ( x + iy) \right] \,
AiryBi Real Surface.png AiryBi Imag Surface.png AiryBi Abs Surface.png AiryBi Arg Surface.png
AiryBi Real Contour.svg AiryBi Imag Contour.svg AiryBi Abs Contour.svg AiryBi Arg Contour.svg


참고 문헌[편집]

  1. Airy, George Biddell (1838년). On the intensity of light in the neighbourhood of a caustic. 《Transactions of the Cambridge Philosophical Society》 6: 379–402.

같이 보기[편집]