로런츠 군

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로런츠 군(Lorentz群, Lorentz group)이란 민코프스키 공간 상의 로런츠 변환회전변환을 모아놓은 을 말한다. 중력이 작용하지 않는 경우에는 로런츠 군에 속하는 변환에 대하여 많은 물리학적 법칙들의 형태가 변하지 않는 대칭성을 가지고 있다.

예를 들면,

이 있다. 때문에 로런츠 군의 변환들은 자연의 법칙들이 가져야 할 기본적인 대칭성으로 받아들여지고 있다.

정의[편집]

로런츠 군은 민코스프키 공간의 원점을 변화시키기 않는 등거리변환을 모두 모아놓은 군이다. 즉, 선형변환

 \Lambda : x^\mu \mapsto x'^\mu = \Lambda^\mu_\nu x^\nu

거리

\eta_{\mu \nu} x^\mu x^\mu = t^2 - x^2 - y^2 - z^2 \;

가 변하지 않고 원점이 변하지 않는 변환을 모아놓은 군이다. 로런츠 군의 원소들은 직교행렬, 즉, Λ−1 = ΛT 이고, 계량텐서 ημν 의 부호가 (+,-,-,-) 이기 때문에 직교군 O(1,3) 라 부르기도 한다.

로런츠 군은 군이면서 매끄러운 미분다양체이므로 리 군을 이룬다.

연결성분과 제한된 로런츠 군[편집]

로런츠 군은 총 네 개의 연결성분을 갖는다. 즉, 위상수학적으로 서로 분리된 군의 네 부분들을 생각해 볼 수 있다. 간단히 말해, 로런츠 군의 원소들은 다음의 조건에 따라 네 가지로 분류할 수 있다.

  • 시간을 역전시키는가?
  • 공간의 방향이 유지되는가?

여기서, 시간이 역전되지 않는 변환을 정시적(orthochronous)이라고 하고, 방향이 유지되는, 즉 det Λ = 1 인 변환을 고유(proper)하다고 한다.

군의 항등원은 정시적이며 고유한 연결성분에 들어있으며, 시간이 역전되지 않고 방향이 유지되는 변환들이 모두 포함되어 있다. 이 또한 부분군을 이루며 리 군이다. 이 연결성분을 정시적고유로런츠 군 또는 제한된 로런츠 군(restricted Lorentz group)이라 하며 SO+(1,3)라 쓴다. 경우에 따라선 로런츠 군을 말할때 제한된 로런츠 군을 가리키기도 한다. 또한 제한된 로런츠 군은 로런츠 군의 정규부분군이기도 하다.

제한된 로런츠 군에 대한 로런츠 군의 몫군 O(1,3)/SO+(1,3)은 공간반전 P 와 시간역전 T 로 구성되어 있으며, {1, P, T, PT} 의 네 가지 원소를 가지고 있다. 이 몫군은 클라인 4원군동형이다.

로런츠 대수[편집]

제한된 로런츠 군의 원소는 항등원과 연결되어 있기 때문에, 다음과 같은 무한소변환을 생각할 수 있다.

\Lambda^\mu_\nu = \delta^\mu_\nu + \omega^\mu_\nu

여기서 |ωμν| ≪ 1 이다. 변환의 무한소 부분 ω는 로런츠 군이 직교군이기 때문에 반대칭이어야 한다.

\omega_{\mu\nu} = - \omega_{\nu\mu} \;

반대칭인 4×4 행렬은 6개의 독립적인 변수를 가지고 있으므로, 제한된 로런츠 군은 6개의 매개변수를 갖는다. 이를 매개변수로 하여 제한된 로런츠 군의 무한소변환인 원소를 나타내 보면

 \Lambda = 1 - \frac{i}{2} \omega_{\mu\nu} J^{\mu\nu} \;

로 쓸 수 있다. 여기서 Jμν는 제한된 로런츠 군의 생성원으로 로런츠 군의 표현에 따라 달라지며 반대칭이다. 앞의 1/2는 위에서 합 계산이 독립적인 매개변수에 대해서만 해야 하지만, ω의 모든 성분에 대해 합이 이루어져 중복 계산이 되었기 때문에 붙은 것이다. 이를 무한소변환이 아닌 변환으로 확장하면 임의의 제한된 로런츠 군의 원소는 다음과 같이 쓸 수 있다.

 \Lambda = e^{-\frac{i}{2} \omega_{\mu\nu} J^{\mu\nu}}

제한된 로런츠 군은 리 군이므로 리 대수를 갖고 다음과 같이 주어진다.

 [J^{\mu\nu}, J^{\rho\sigma} ] = i ( \eta^{\nu\rho} J^{\mu\sigma} - \eta^{\mu\rho} J^{\nu\sigma} - \eta^{\nu\sigma} J^{\mu \rho} + \eta^{\mu \sigma} J^{\nu\rho} ) \;

생성원을 공간벡터로 쓸 땐, 다음과 같이 6개의 매개변수를 벡터 형태로 새로 정의하고

 \theta^i = \frac{1}{2} \epsilon^{ijk} \omega^{jk}, \quad \eta^i = \omega^{i0}

각각에 대한 생성원을 다음과 같이 공간벡터로 쓴다.

 J^i =  \frac{1}{2} \epsilon^{ijk} J^{jk} , \quad K^i = J^{i0}

이 때, 제한된 로런츠 군의 원소는 다음과 같이 쓸 수 있으며

 \Lambda = e^{- i \mathbf{\theta} \cdot \mathbf{J} + i \mathbf{\eta} \cdot \mathbf{K} }

생성원에 대한 리 대수는 다음과 같다.

 [ J^i , J^j ] = i \epsilon^{ijk} J^k \;
 [ J^i , K^j ] = i \epsilon^{ijk} K^k \;
 [ K^i , K^j ] = - i \epsilon^{ijk} J^k \;