비라소로 대수

위키백과, 우리 모두의 백과사전.
이동: 둘러보기, 검색

수학에서, 비라소로 대수(영어: Virasoro algebra)는 2차원 등각군을 생성하는 복소 리 대수다. 이론 물리의 등각장론끈 이론에서 쓰인다.

역사[편집]

엘리 카르탕이 1909년에 비트 대수 (중심확장이 없는 비라소로 대수)를 발견하였고, 에른스트 비트(독일어: Ernst Witt)가 이를 유한체의 경우에 대하여 1930년대에 연구하였다. 비트 대수의 중심확장은 리처드 블록(영어: Richard Earl Block)[1]이즈라일 겔판트, 드미트리 푹스(러시아어: Дми́трий Бори́сович Фукс) (1968)가 발견하였다.

아르헨티나의 물리학자 미겔 안헬 비라소로(스페인어: Miguel Ángel Virasoro)가 1970년에 끈 이론에서 비트 대수 (중심확장을 제외한 비라소로 대수)를 도입하였다.[2] 이후 그 중심 확장은 와이스 (영어: J. H. Weis)가 도입하였다.

정의[편집]

비라소로 대수는 L_n (n\in\mathbb Z)과 c로 인하여 생성되는 대수로, 다음과 같은 리 괄호를 가진다.

[c,L_n]=0
[L_m,L_n]=(m-n)L_{m+n}+\frac c{12}(m+1)m(m-1)\delta_{m+n}

중심 원소 c가 0인 대수를 비트 대수(영어: Witt algebra)라고 하며, 이는 비라소로 대수의 고전적 형태로 볼 수 있다. 이는 고전적으로 다음과 같은 벡터장들로 의하여 생성된다.

L_n=-z^{n+1}\frac\partial{\partial z}

비라소로 대수의 표현[편집]

비라소로 대수의 표현은 중심 원소 c의 값에 따라 분류된다. 표현이 어떤 최고 무게(영어: highest weight) h로부터 생성되는 경우를 최고 무게 표현(영어: highest weight representation)이라고 한다. 유니터리 기약 최고 무게 표현은 그 중심 원소 c와 최고 무게 h로 분류된다. 유니터리 표현의 경우

c,h\ge0

이다. 가능한 c의 값들은 다음과 같다.[3] c>1인 경우, 모든 h\ge0에 대한 표현 (c,h)가 존재한다. c\le1인 경우에는 다음과 같은 값들만이 존재한다.

c=1-\frac6{m(m+1)}
h=h_{p,q}(c)\equiv\frac{((m+1)p-mq)^2-1}{4m(m+1)}
m=2,3,4,\dots
p=1,2,\dots,m-1
q=1,2,\dots,p

후자의 경우를 최소 모형(영어: minimal model)이라고 한다.

끈 이론에서의 사용[편집]

끈 이론에서, 비라소로 대수는 끈의 에너지-운동량 텐서의 (빛원뿔 좌표계에서의) ++, −−원소의 진동모드 전개로 등장한다. (닫힌 끈의 경우엔 이들이 각각 다른 비라소로 대수를 이루나, 열린 끈의 경우에는 하나의 비라소로 대수밖에 없다.) 미분동형사상(좌표 변환) 불변성에 의하여 물리적 상태에서는 에너지-운동량 텐서가 (고전적으로) 0이 되어야 하므로, 고전적으로 L_m=0이다. 이를 양자화하면, 오직

(L_m-a\delta_{m0})|\psi\rangle=0 (m\ge0)

만을 만족시키면 된다. 여기서 |\psi\rangle는 임의의 실재하는 상태고, a는 이론에 따라 다른 상수다. (보존 끈 이론에서는 a=1이고, 초끈 이론에서는 NS의 경우에는 a=1/2, R의 경우에는 a=0이다.)

초비라소로 대수[편집]

초끈 이론에서는 초등각대칭을 지니므로 등각대칭에 해당하는 비라소로 대수를 초비라소로 대수(영어: super-Virasoro algebra)로 확장할 수 있다. 초비라소로 대수는 비라소로 대수의 생성원 말고도 새 생성원 G_r이 있는데, 여기서 경계조건이 R이면 r\in\mathbb Z, NS이면 r\in\mathbb Z+1/2이다. 이는 초전류(supercurrent)의 진동모드로 생각할 수 있다. 대수는 다음과 같이 정의한다.

[Lm,Gr] = (m/2 − r)Gm+r,
{Gr,Gs} = 2Lr+s + (r2 − 1/4)δr+s C/3.

참고 문헌[편집]

  1. Block, Richard E. (1966년). On the Mills-Seligman axioms for Lie algebras of classical type. 《Transactions of the American Mathematical Society》 121 (2): 378–392. doi:10.1090/S0002-9947-1966-0188356-3.
  2. Virasoro, Miguel Ángel (1970년). Subsidiary conditions and ghosts in dual-resonance models. 《Physical Review D》 1 (10): 2933–2936. doi:10.1103/PhysRevD.1.2933. Bibcode1970PhRvD...1.2933V.
  3. (영어) Goddard, P., A. Kent, and D. Olive (1986년). Unitary representations of the Virasoro and super-Virasoro algebras. 《Communications in Mathematical Physics》 103 (1): 105–119. doi:10.1007/BF01464283. MR0826859. Zbl 0588.17014. ISSN 0010-3616.

바깥 고리[편집]

  • (영어) Kac, Victor (2001). Virasoro algebra. 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer.