비조화비

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사영기하학에서, 비조화비(非調和比, 영어: anharmonic ratio) 또는 복비(複比, 영어: cross-ratio)는 같은 직선 위에 있는 네 점의 유일한 사영 불변량이다.

정의[편집]

같은 실수 또는 복소 직선 위에 있는 네 점 z_1,z_2,z_3,z_4비조화비 (z_1,z_2;z_3,z_4)는 다음과 같다.

(z_1,z_2;z_3,z_4)=\frac{(z_1-z_3)(z_2-z_4)}{(z_2-z_3)(z_1-z_4)}

대칭군의 작용[편집]

네 점의 순서를 바꾸면, 비조화비 \lambda는 다음과 같이 변환한다.

(z_1, z_2; z_3, z_4) = \lambda (z_1, z_2; z_4, z_3) =1/\lambda
(z_1, z_3; z_4, z_2) = 1/(1-\lambda) (z_1, z_3; z_2, z_4) = 1-\lambda
(z_1, z_4; z_3, z_2) =\lambda/(\lambda-1) (z_1, z_4; z_2, z_3) =(\lambda-1)/\lambda

이는 대칭군 S_4작용으로 볼 수 있다. 다만, S_4 가운데 일부 원소들은 자명하게 작용한다.

(z_1,z_2;z_3,z_4) = (z_2,z_1;z_4,z_3) = (z_3,z_4;z_1,z_2) = (z_4,z_3;z_2,z_1)

S_4의 작용의 클라인 4원군 (\mathbb Z/2)^2이며, 따라서 이는 사실 S_4/(\mathbb Z/2)^2\cong S_3의 작용이 된다. 이 군을 비조화군(非調和群, 영어: anharmonic group)이라고 하며, 이는 모듈러 군 \operatorname{PSL}(2,\mathbb Z)=\langle S,T|S^2=(ST)^3=1\rangle꼬임 부분군 \langle S,ST|S^2=(ST)^3=1\rangle에 대응한다.

조화비[편집]

비조화군의 작용의 궤도 \{\lambda^{\pm1},(1-\lambda)^{\pm1},(\lambda/(\lambda-1))^{\pm1}\}는 보통 크기가 6이지만, 예외적인 경우 크기가 이보다 작을 수 있다.

이러한 궤도는 세 가지가 있다.

  • 첫 번째 예외적 궤도는 \{0,1,\infty\}이며, 이는 네 좌표 z_1,z_2,z_3,z_4 가운데 둘이 서로 겹치는 경우이다.
  • 두 번째 예외적 궤도는 \{-1,1/2,2\}이며, 이를 조화비(調和比, 영어: harmonic ratio)라고 한다. 이는 차수가 2인 원소 \lambda\mapsto1/\lambda, \lambda\mapsto1-\lambda, \lambda\mapsto\lambda/(1-\lambda)에 대응한다.
  • 세 번째로, 복소수체에 대한 경우 궤도 \{\exp(\pm\pi i/3)\}가 있다. 이는 차수가 3인 원소 \lambda\mapsto1/(1-\lambda)\lambda\mapsto(\lambda-1)/\lambda에 대응한다.

응용[편집]

쌍곡기하학벨트라미-클라인 모형에서, 두 점 사이의 쌍곡 거리는 이 두 점 사이의 (유클리드) 비조화비에 의해 주어진다.

복소 평면에서, 세 개의 점 e_1,e_2,e_3\in\mathbb C을 잡으면, 바이어슈트라스 타원함수 \wp(-;\omega_1,\omega_2)\colon\mathbb C/\langle\omega_1,\omega_2\rangle\to\mathbb C\{e_1,e_2,e_3,\widehat\infty\}분지점으로 하는, 복소 평면에서 타원 곡선 \mathbb C/\langle\omega_1,\omega_2\rangle으로 가는 2겹 분기 피복공간을 정의한다. 이 경우, 분지점들의 비조화비는 모듈러 람다 함수에 의해 주어지며, 그 값은 비조화군의 작용에 따라 변환한다.

참고 문헌[편집]

  • (영어) Labourie, François (2008년 11월). What is … a cross-ratio?. 《Notices of the American Mathematical Society》 2008 (10): 1234–1235.

바깥 고리[편집]