모듈러 람다 함수

수학에서 모듈러 람다 함수(영어: modular lambda function)는 합동 부분군 $\Gamma (2)$에 대하여 불변인 모듈러 함수이다. 이 함수를 통해, 타원 곡선은 리만 구면의 2겹 분지 피복을 이룬다.

정의

$\mathbb {H}$가 복소 상반평면이라고 하자. 모듈러 람다 함수 $\lambda \colon \mathbb {H} \to \mathbb {C}$는 바이어슈트라스 타원함수로 다음과 같이 정의할 수 있다. 만약 $\tau =\omega _{2}/\omega _{1}$이라면,

$\lambda (\tau )={\frac {\wp (\omega _{1}/2+\omega _{2}/2;\omega _{1},\omega _{2})-\wp (\omega _{2}/2;\omega _{1},\omega _{2})}{\wp (\omega _{1}/2;\omega _{1},\omega _{2})-\wp (\omega _{2}/2;\omega _{1},\omega _{2})}}$

이다. 또한, 야코비 세타 함수나 데데킨트 에타 함수로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$\lambda (\tau )={\frac {\theta _{2}^{4}(0,\tau )}{\theta _{3}^{4}(0,\tau )}}=\left({\frac {{\sqrt {2}}\eta (\tau /2)\eta ^{2}(2\tau )}{\eta ^{3}(\tau )}}\right)^{8}$

성질

바이어슈트라스 타원함수 $\wp (-;\omega _{1},\omega _{2})\colon \mathbb {C} /\langle \omega _{1},\omega _{2}\rangle \to {\widehat {\mathbb {C} }}$는 타원 곡선$\mathbb {C} /\langle 1,\tau \rangle$에서 리만 구면 ${\widehat {\mathbb {C} }}$으로 가는 함수이며, 이는 리만 구면의 2겹 분지 피복을 이룬다. 이 피복사상은 4개의 점

$e_{1}=\wp (\omega _{1}/2;\omega _{1},\omega _{2})$

$e_{2}=\wp (\omega _{2}/2;\omega _{1},\omega _{2})$

$e_{3}=\wp (\omega _{1}/2+\omega _{2}/2;\omega _{1},\omega _{2})$

$e_{4}=\wp (0;\omega _{1},\omega _{2})={\widehat {\infty }}$

에서 분기화하며, 모듈러 람다 함수는 이 점들의 비조화비(anharmonic ratio)이다.

$\lambda (\omega _{2}/\omega _{1})={\frac {(e_{3}-e_{2})(e_{4}-e_{1})}{(e_{1}-e_{2})(e_{4}-e_{3})}}={\frac {e_{3}-e_{2}}{e_{1}-e_{2}}}$

이에 따라, $\lambda$는 비조화군(anharmonic group) $\Gamma (1)/\Gamma (2)\cong S_{3}$의 작용에 따라 변환한다.

함수 방정식

모듈러 람다 함수 $\lambda (\tau )$는 합동 부분군 $\Gamma (2)$에 대해 불변이다. 즉, 다음과 같은 함수 방정식을 만족시킨다. 모든 $\tau \in \mathbb {C}$에 대하여, 다음이 성립한다.

$\lambda (\tau +2)=\lambda (\tau /(1-2\tau ))=\lambda (\tau )$

이에 따라, 모듈러 람다 함수는 종수 0의 리만 곡면인 모듈러 곡선 $X(2)=\mathbb {H} /\Gamma (2)$와 리만 구면 ${\hat {\mathbb {C} }}$ 사이의 구체적인 동형사상을 정의한다. 모듈러 군 $\Gamma (1)=\operatorname {PSL} (2;\mathbb {Z} )$에 대해서는 다음과 같이 변환한다.

$\lambda (\tau +1)={\frac {\lambda (\tau )}{\lambda (\tau )-1}}$

$\lambda (-1/\tau )=\lambda (\tau )-1$

급수 전개

$q=\exp(\pi i\tau )$에 대한 급수 전개는 다음과 같다. (OEIS의 수열 A115977)

$\lambda (\tau )=16q-128q^{2}+704q^{3}-3072q^{4}+11488q^{5}-38400q^{6}+\dots$

타원의 모듈러스

정의 및 계산

함수 λ*(x) 람다 별은 타원 모듈러스를 제공하므로 모듈러스 자체의 완전한 타원 적분으로 나눈 모듈러스의 반대 피타고라스의 완전한 타원 적분의 몫은 x의 제곱근과 같다.

${\frac {K[{\sqrt {1-\lambda ^{*}(x)^{2}}}]}{K[\lambda ^{*}(x)]}}={\sqrt {x}}$

K는 제 1 종 완전 타원 적분이다.

함수 λ*(x)의 값은 다음과 같이 계산할 수 있다:

$\lambda ^{*}(x)={\frac {\vartheta _{2}^{2}[0;\exp(-\pi {\sqrt {x}})]}{\vartheta _{3}^{2}[0;\exp(-\pi {\sqrt {x}})]}}$

$\lambda ^{*}(x)={\biggl \{}\sum _{a=-\infty }^{\infty }\exp[-(a+1/2)^{2}\pi {\sqrt {x}}]{\biggr \}}^{2}{\biggl [}\sum _{a=-\infty }^{\infty }\exp(-a^{2}\pi {\sqrt {x}}){\biggr ]}^{-2}$

$\lambda ^{*}(x)={\biggl \{}\sum _{a=-\infty }^{\infty }\operatorname {sech} [(a+1/2)\pi {\sqrt {x}}]{\biggr \}}{\biggl [}\sum _{a=-\infty }^{\infty }\operatorname {sech} (a\pi {\sqrt {x}}){\biggr ]}^{-1}$

함수 λ*(x) 및 λ(x)는 다음과 같이 서로 관련된다:

$\lambda ^{*}(x)={\sqrt {\lambda (i{\sqrt {x}})}}$

성질 및 값

양의 유리수의 모든 λ*(x)-값은 대수적이다.

$\lambda ^{*}(x\in \mathbb {Q} ^{+})\in \mathbb {A} ^{+}$

다음 표현식은 모든 n ∈ ℕ에 유효한다:

${\sqrt {n}}=\sum _{a=1}^{n}\operatorname {dn} {\biggl \{}{\frac {2a}{n}}K{\biggl [}\lambda ^{*}{\biggl (}{\frac {1}{n}}{\biggr )}{\biggr ]};\lambda ^{*}{\biggl (}{\frac {1}{n}}{\biggr )}{\biggr \}}$

표현 dn은 진폭의 델타 야코비 타원함수를 나타낸다.

하나의 람다 값에서 다음과 같이 다른 람다 값이 파생 될 수 있다.

$\lambda ^{*}(n^{2}x)=\lambda ^{*}(x)^{n}\prod _{a=1}^{n}\operatorname {sn} \left\{{\frac {2a-1}{n}}K[\lambda ^{*}(x)];\lambda ^{*}(x)\right\}^{2}$

표현 sn은 진폭의 사인 야코비 타원함수를 나타낸다.

그 표현에서 n은 자연수 ℕ에 속해야한다.

이 모든 방정식도 유효하다:

$\lambda ^{*}(x)^{2}+\lambda ^{*}(1/x)^{2}=1$

$\lambda ^{*}(4x)={\frac {1-{\sqrt {1-\lambda ^{*}(x)^{2}}}}{1+{\sqrt {1-\lambda ^{*}(x)^{2}}}}}=\tan\{\arcsin[\lambda ^{*}(x)]/2\}^{2}$

$\tan\{2\arctan[\lambda ^{*}(x)]\}\tan\{2\arctan[\lambda ^{*}(4/x)]\}=1$

$\lambda ^{*}(x)\lambda ^{*}(4/x)+\lambda ^{*}(x)+\lambda ^{*}(4/x)=1$

$\lambda ^{*}(x)-\lambda ^{*}(9x)=2\lambda ^{*}(x)^{1/4}\lambda ^{*}(9x)^{1/4}-2\lambda ^{*}(x)^{3/4}\lambda ^{*}(9x)^{3/4}$

$\tan\{2\arctan[\lambda ^{*}(x)]\}-\tan\{2\arctan[\lambda ^{*}(9x)]\}=$

$=2{\sqrt {2}}\tan\{2\arctan[\lambda ^{*}(x)]\}^{1/4}\tan\{2\arctan[\lambda ^{*}(9x)]\}^{1/4}+2{\sqrt {2}}\tan\{2\arctan[\lambda ^{*}(x)]\}^{3/4}\tan\{2\arctan[\lambda ^{*}(9x)]\}^{3/4}$

$\tan\{2\arctan[\lambda ^{*}(x)]\}^{1/2}-\tan\{2\arctan[\lambda ^{*}(25x)]\}^{1/2}=$

$=2\tan\{2\arctan[\lambda ^{*}(x)]\}^{1/12}\tan\{2\arctan[\lambda ^{*}(25x)]\}^{1/12}+2\tan\{2\arctan[\lambda ^{*}(x)]\}^{5/12}\tan\{2\arctan[\lambda ^{*}(25x)]\}^{5/12}$

홀수 (8z+1) 위치의 람다 값:

$\lambda ^{*}(1)={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}$

$\lambda ^{*}(9)={\tfrac {1}{2}}({\sqrt {3}}-1)({\sqrt {2}}-{\sqrt[{4}]{3}})$

$\lambda ^{*}(17)=\sin\{{\tfrac {1}{2}}\arcsin[({\tfrac {5}{4}}+{\tfrac {1}{4}}{\sqrt {17}}-{\tfrac {1}{4}}{\sqrt {10{\sqrt {17}}+26}})^{3}]\}$

$\lambda ^{*}(25)={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}({\sqrt {5}}-2)(3-2{\sqrt[{4}]{5}})$

$\lambda ^{*}(33)=\sin\{{\tfrac {1}{2}}\arcsin[(10-3{\sqrt {11}})(2-{\sqrt {3}})^{3}]\}$

$\lambda ^{*}(41)=\sin\{{\tfrac {1}{2}}\arcsin[({\tfrac {1}{8}}{\sqrt {41}}+{\tfrac {5}{8}}+{\tfrac {1}{8}}{\sqrt {2{\sqrt {41}}+10}}-{\tfrac {1}{4}}{\sqrt {{\sqrt {58{\sqrt {41}}+370}}+3{\sqrt {41}}+3}})^{6}]\}$

$\lambda ^{*}(49)={\tfrac {1}{1024}}{\sqrt {2}}[2{\sqrt {2}}-{\sqrt[{8}]{28}}{\sqrt {3+{\sqrt {7}}}}({\sqrt[{4}]{28}}-{\sqrt {7}}+1)]^{4}$

홀수 (8z+5) 위치의 람다 값:

$\lambda ^{*}(5)=\sin[{\tfrac {1}{2}}\arcsin({\sqrt {5}}-2)]$

$\lambda ^{*}(13)=\sin[{\tfrac {1}{2}}\arcsin(5{\sqrt {13}}-18)]$

$\lambda ^{*}(21)=\sin\{{\tfrac {1}{2}}\arcsin[(8-3{\sqrt {7}})(2{\sqrt {7}}-3{\sqrt {3}})]\}$

홀수 (4z+3) 위치의 람다 값:

$\lambda ^{*}(3)={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2}}({\sqrt {3}}-1)$

$\lambda ^{*}(7)={\tfrac {1}{8}}{\sqrt {2}}(3-{\sqrt {7}})$

$\lambda ^{*}(11)={\tfrac {1}{16}}{\sqrt {2}}({\sqrt {11}}+3)({\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {3}}+2{\sqrt {11}}}}-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {3}}-2{\sqrt {11}}}}+{\tfrac {1}{3}}{\sqrt {11}}-1)^{4}$

$\lambda ^{*}(15)={\tfrac {1}{16}}{\sqrt {2}}(3-{\sqrt {5}})({\sqrt {5}}-{\sqrt {3}})(2-{\sqrt {3}})$

$\lambda ^{*}(19)={\tfrac {1}{16}}{\sqrt {2}}(3{\sqrt {19}}+13)[{\tfrac {1}{6}}({\sqrt {19}}-2+{\sqrt {3}}){\sqrt[{3}]{3{\sqrt {3}}-{\sqrt {19}}}}-{\tfrac {1}{6}}({\sqrt {19}}-2-{\sqrt {3}}){\sqrt[{3}]{3{\sqrt {3}}+{\sqrt {19}}}}-{\tfrac {1}{3}}(5-{\sqrt {19}})]^{4}$

$\lambda ^{*}(23)={\tfrac {1}{32}}{\sqrt {2}}(5+{\sqrt {23}})[{\tfrac {2}{3}}+{\tfrac {1}{6}}({\sqrt {3}}+1){\sqrt[{3}]{100-12{\sqrt {69}}}}-{\tfrac {1}{6}}({\sqrt {3}}-1){\sqrt[{3}]{100+12{\sqrt {69}}}}]^{4}$

짝수 (8z+2) 위치의 람다 값:

$\lambda ^{*}(2)={\sqrt {2}}-1$

$\lambda ^{*}(10)=({\sqrt {10}}-3)({\sqrt {2}}-1)^{2}$

$\lambda ^{*}(18)=(2-{\sqrt {3}})^{2}({\sqrt {2}}-1)^{3}$

$\lambda ^{*}(26)=({\sqrt {26}}+5)({\sqrt {2}}-1)^{2}\tan[{\tfrac {1}{4}}\pi -\arctan({\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{3{\sqrt {3}}+{\sqrt {26}}}}-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{3{\sqrt {3}}-{\sqrt {26}}}}+{\tfrac {1}{6}}{\sqrt {26}}-{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})]^{4}$

$\lambda ^{*}(34)=\tan\{{\tfrac {1}{2}}\arctan[({\tfrac {1}{4}}{\sqrt {14+2{\sqrt {17}}}}-{\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2{\sqrt {17}}-2}})^{12}]\}$

$\lambda ^{*}(42)=(8-3{\sqrt {7}})({\sqrt {7}}-{\sqrt {6}})(2-{\sqrt {3}})^{2}({\sqrt {2}}-1)^{2}$

$\lambda ^{*}(50)=({\sqrt {2}}-1)\tan[\arctan({\tfrac {1}{3}}{\sqrt {5}}-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {30}}+4{\sqrt {5}}}}+{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {30}}-4{\sqrt {5}}}})-{\tfrac {1}{8}}\pi ]^{4}$

$\lambda ^{*}(58)=(13{\sqrt {58}}-99)({\sqrt {2}}-1)^{6}$

$\lambda ^{*}(66)=\tan\{{\tfrac {1}{4}}\arcsin[({\tfrac {13}{62}}+{\tfrac {1}{186}}{\sqrt {33}}-{\tfrac {1}{186}}{\sqrt {3426{\sqrt {33}}-17790}})^{2}]\}$

짝수 (8z+6) 위치의 람다 값:

$\lambda ^{*}(6)=(2-{\sqrt {3}})({\sqrt {3}}-{\sqrt {2}})$

$\lambda ^{*}(14)=\tan[{\tfrac {1}{4}}\arcsin({\tfrac {8}{7}}{\sqrt {2}}-{\tfrac {11}{7}})]$

$\lambda ^{*}(22)=(10-3{\sqrt {11}})(3{\sqrt {11}}-7{\sqrt {2}})$

$\lambda ^{*}(30)=(4-{\sqrt {15}})({\sqrt {6}}-{\sqrt {5}})(2-{\sqrt {3}})({\sqrt {3}}-{\sqrt {2}})^{2}$

$\lambda ^{*}(38)=\tan\{{\tfrac {1}{2}}\arctan[({\sqrt {2}}-1)^{6}({\tfrac {1}{6}}{\sqrt[{3}]{12{\sqrt {114}}+12{\sqrt {57}}+52{\sqrt {2}}+36}}-{\tfrac {1}{6}}{\sqrt[{3}]{12{\sqrt {114}}+12{\sqrt {57}}-52{\sqrt {2}}-36}}+{\tfrac {1}{3}}{\sqrt {2}})^{12}]\}$

$\lambda ^{*}(46)=\tan[{\tfrac {1}{4}}\arcsin({\tfrac {104}{207}}{\sqrt {2}}-{\tfrac {49}{69}})]$

$\lambda ^{*}(54)=(2-{\sqrt {3}})^{3}({\sqrt {3}}-{\sqrt {2}})^{3}\tan[\arctan({\tfrac {2}{3}}{\sqrt {3}}{\sqrt[{3}]{{\sqrt {2}}+1}}+{\tfrac {2}{3}}{\sqrt {6}}{\sqrt[{3}]{{\sqrt {2}}-1}}+{\tfrac {1}{3}}{\sqrt {6}}-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt {3}})-{\tfrac {1}{4}}\pi ]^{4}$

$\lambda ^{*}(62)=\tan\{{\tfrac {1}{2}}\arctan[({\tfrac {1}{4}}{\sqrt {9+5{\sqrt {2}}}}+{\tfrac {1}{4}}{\sqrt {{\sqrt {2}}+1}}-{\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2{\sqrt {14{\sqrt {2}}+19}}+6{\sqrt {2}}-6}})^{12}]\}$

$\lambda ^{*}(70)=(3{\sqrt {14}}-5{\sqrt {5}})(8-3{\sqrt {7}})(6-{\sqrt {35}})(2{\sqrt {2}}-{\sqrt {7}})^{2}$

짝수 4z 위치의 람다 값:

$\lambda ^{*}(4)=({\sqrt {2}}-1)^{2}$

$\lambda ^{*}(8)=({\sqrt {2}}+1-{\sqrt {2{\sqrt {2}}+2}})^{2}$

$\lambda ^{*}(12)=({\sqrt {3}}-{\sqrt {2}})^{2}({\sqrt {2}}-1)^{2}$

$\lambda ^{*}(16)=({\sqrt {2}}+1)^{2}({\sqrt[{4}]{2}}-1)^{4}$

참고 문헌

• Chandrasekharan, K. (1985), 《Elliptic Functions》, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften (영어) 281, Springer, ISBN 3-540-15295-4, Zbl 0575.33001 
• Rankin, Robert A. (1977), 《Modular Forms and Functions》 (영어), Cambridge University Press, ISBN 0-521-21212-X, Zbl 0376.10020 

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Elliptic lambda function”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• http://amsacta.unibo.it/3883/1/JNT3-2013PostUnibo.pdf
• https://arxiv.org/pdf/2006.12034.pdf