분기화

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분기화를 단순화한 그림. 공간 Y의 거의 모든 점에서, 다발은 세 점으로 이루어졌으나, Y위의 두 점에서만은 다발이 각각 한 점과 두 점으로 (검은 색으로 표시함) 이루어졌다. 사상 fY위의 이들 점에서 분기화되었다고 한다.

수학에서, 분기화(分岐化, 영어: ramification)는 가지치기(branching out)하는 것을 이른다. 예를 들면 제곱근 함수 z^{\frac{1}{2}}는 두 개의 가지(branch)를 가지고 있고, 가지친곳(branch cut)을 지날 때 부호가 바뀐다. 반대로 두 개 (또는 그 이상의) 덮개사상(covering map)이 만날 때에도 분기화라는 말을 쓴다.

복소해석학에서의 분기화[편집]

복소해석학에서, 두 리만 곡면 M,N 사이의 분기 피복(영어: ramified cover)은 국소적으로 f(z)=z^n+O(z^{n+1})의 꼴인 정칙함수이다. 이 경우 nz\in M분기 지표(영어: ramification index)라고 한다.

예를 들어, f\colon\mathbb C\to\mathbb Cf(z)=z^n (n\in\mathbb Z^+라면, f는 분기 피복을 이룬다. z\ne0의 분기 지표는 1이고, z=0의 분기 지표는 n이다.

분기 피복의 정의역공역 사이에는 일련의 위상수학적 관계가 존재한다. 예를 들어, 두 공간의 오일러 지표리만-후르비츠 공식으로 계산할 수 있다.

수론에서의 분기화[편집]

수론에서, 분기화는 체의 확대에서 일부 소 아이디얼들이 보이는 현상이다.

수체 K체의 확대 K\hookrightarrow L가 주어졌다고 하고, 그 지표 [L:K]가 유한하다고 하자. K정수환소 아이디얼 \mathfrak p\in O_K이 주어졌다면, 이 원소가 L에서도 소 아이디얼인지 여부를 생각할 수 있다. 구체적으로 S\subset LO_K의 정역 폐포(영어: integral closure)라고 하자. 그렇다면 \mathfrak p\subset S이다. \mathfrak pS에서 소 아이디얼이거나, 아니면 유한 개의 소 아이디얼들의 곱이다.

\mathfrak p=\mathfrak p_1^{e_1}\mathfrak p_2^{e_2}\dotsb\mathfrak p_k^{e_k}

이 경우, K의 정수환의 소 아이디얼들을 체의 확대 L:K에 대하여 다음과 같이 분류할 수 있다.

  • 만약 k=1이라면, \mathfrak p분기화되지 않는다(영어: unramified).
  • 만약 k>1이지만 e_1=e_2=\dots=e_k=1이라면, \mathfrak p는 (다른 소수들의 곱으로) 갈라진다(영어: split).
  • 만약 e_i>1\mathfrak p_i가 존재한다면, \mathfrak p분기화된다(영어: ramified).

e_i를 체의 확대 L:K\mathfrak p에서의 분기 지표(영어: ramification index)라고 한다.

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