야코비 타원함수

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sn(u)의 그래프. 붉은 선은 m=0.05^2, 녹색 선은 m=1.05^2이다.
cn(u)의 그래프. 붉은 선은 m=0.05^2, 녹색 선은 m=1.05^2이다.
dn(u)의 그래프. 붉은 선은 m=0.25^2, 녹색 선은 m=1.05^2이다.

수학에서, 야코비 타원함수(Jacobi楕圓函數, 영어: Jacobi elliptic function)는 세 개의 특수 함수 sn, cn, dn이다. 이들은 삼각함수와 유사한 항등식들을 만족시킨다.

정의[편집]

야코비 타원함수 sn, cn, dn은 두 개의 변수 (u,m)에 대한 함수이다. 여기서 0\le m\le 1이다.

다음과 같은 타원적분을 생각하자.

u=\int_0^\phi\frac{d\theta}{\sqrt{1-m\sin^2\theta}}

그렇다면 sn, cn, dn은 다음과 같이 정의된다.

\operatorname{sn}(u;m)=\sin\phi
\operatorname{cn}(u;m)=\cos\phi
\operatorname{dn}(u;m)=\sqrt{1-m^2\sin^2\phi}

저자에 따라, 간혹 매개변수 m 대신 k=\sqrt m 또는 \alpha=\arcsin\sqrt m을 사용하는 경우도 있다. 이 경우 0\le k\le 1, 0\le\alpha\le\pi/2이다.

타원과의 관계[편집]

긴 반지름a\ge1이며 짧은 반지름이 1인 타원을 생각하자. 이 타원은 직교좌표계에서 다음과 같은 방정식에 의하여 정의된다.

x^2/a^2+y^2=1

이들을 극좌표계 (r,\theta)=(\sqrt{x^2+y^2},\arctan(x/y))로 변환하면, 다음과 같은 함수들을 얻는다.

x=x(\theta)
y=y(\theta)
r=r(\theta)=\sqrt{x(\theta)^2+y(\theta)^2}

또한, 다음과 같은 값을 정의할 수 있다.

u=\int_0^\theta\,r(\phi)\,d\phi

그렇다면, u의 함수로서 x, y, r은 다음과 같이 야코비 타원함수로 주어진다.

\operatorname{cn}(u)=x(\theta)/a
\operatorname{sn}(u)=y(\theta)
\operatorname{dn}(u)=r(\theta)/a

이 경우, m은 타원의 이심률의 제곱이다.

m=k^2=1-1/a^2

보조 야코비 타원함수[편집]

간혹 기본 야코비 타원함수 sn, cn, dn들의 비를 다음과 같이 정의하기도 한다.

sn(u) cn(u) dn(u)
1 ns(u)=1/sn(u) nc(u)=1/cn(u) nd(u)=1/dn(u)
sn(u) 1 sc(u)=sn(u)/cn(u) sd(u)=sn(u)/dn(u)
cn(u) cs(u)=cn(u)/sn(u) 1 sd(u)=sn(u)/dn(u)
dn(u) ds(u)=dn(u)/sn(u) dc(u)=dn(u)/cn(u) 1

성질[편집]

주기성[편집]

야코비 타원함수는 타원함수이다. 즉, 이들은 다음과 같은 주기성을 가진다. f가 sn, cn, 또는 dn이라고 하면,

f(u;m)=f(u+4K(m);m)=f(u+4iK'(m);m)

여기서 K(m)K'(m)은 각각 실사분주기(영어: real quarter period)와 허사분주기(영어: imaginary quarter period)라는 특수 함수이며, 다음과 같다.

K(m)=\int_0^{\pi/2}\frac{d\theta}{\sqrt{1-m\sin^2\theta}}
K'(m)=K(1-m)

즉, 야코비 타원함수는 타원곡선 \mathbb C/\operatorname{Span}_{\mathbb Z}\{4K(m),4iK'(m)\} 위에 정의된 유리형함수이다.

극점과 영점[편집]

sn, cn, dn 모두

u=iK'(m)

에서 단순극을 가지며, 그 유수는 1이다.

sn, cn, dn은 타원곡선 위에서 각각 하나의 영점을 가지며, 영점에서의 도함수는 1이다. 영점의 위치는 다음과 같다.

\operatorname{sn}(0;m)=0
\operatorname{cn}(K(m);m)=0
\operatorname{dn}(K(m)+iK'(m);m)=0

삼각함수·쌍곡함수와의 관계[편집]

m=0일 때, 야코비 타원함수는 삼각함수가 된다.

\operatorname{sn}(u;0)=\sin u
\operatorname{cn}(u;0)=\cos u
\operatorname{dn}(u;0)=1

반대로, m=1일 때, 야코비 타원함수는 쌍곡함수가 된다.

\operatorname{sn}(u;1)=\tanh u
\operatorname{cn}(u;1)=\operatorname{dn}(u;1)=\frac1{\cosh u}

항등식[편집]

야코비 타원함수들은 삼각함수와 유사한, 다음과 같은 항등식들을 만족시킨다.

\operatorname{sn}^2(u;m)+\operatorname{cn}^2(u;m)=1
m\operatorname{sn}^2(u;m)+\operatorname{dn}^2(u;m)=1

합 공식[편집]

다음과 같은 합 공식이 존재한다. 여기서 매개변수 m은 생략한다.


\begin{align}
\operatorname{cn}(x+y) & =
{\operatorname{cn}(x)\;\operatorname{cn}(y)
- \operatorname{sn}(x)\;\operatorname{sn}(y)\;\operatorname{dn}(x)\;\operatorname{dn}(y)
\over {1 - k^2 \;\operatorname{sn}^2 (x) \;\operatorname{sn}^2 (y)}}, \\[8pt]
\operatorname{sn}(x+y) & =
{\operatorname{sn}(x)\;\operatorname{cn}(y)\;\operatorname{dn}(y) +
\operatorname{sn}(y)\;\operatorname{cn}(x)\;\operatorname{dn}(x)
\over {1 - k^2 \;\operatorname{sn}^2 (x)\; \operatorname{sn}^2 (y)}}, \\[8pt]
\operatorname{dn}(x+y) & =
{\operatorname{dn}(x)\;\operatorname{dn}(y)
- k^2 \;\operatorname{sn}(x)\;\operatorname{sn}(y)\;\operatorname{cn}(x)\;\operatorname{cn}(y)
\over {1 - k^2 \;\operatorname{sn}^2 (x)\; \operatorname{sn}^2 (y)}}.
\end{align}

미분[편집]

야코비 타원함수의 미분은 다음과 같다. 여기서 매개변수 m은 생략한다.

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\, \operatorname{sn} z = \operatorname{cn}z\operatorname{dn}z
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\, \operatorname{cn}z = -\operatorname{sn}z \operatorname{dn}z
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\, \operatorname{dn}z = - m\operatorname{sn}z \operatorname{cn}z

역사[편집]

카를 구스타프 야코프 야코비가 1829년 저서 《타원함수론의 새로운 기반》(라틴어: Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum)에서 도입하였다.[1]

같이 보기[편집]

참고 문헌[편집]

  1. (라틴어) Jacobi, C. G. J. (1829년). 《Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum》. Königsberg: Borntraeger

바깥 고리[편집]