야코비 타원함수

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수학에서, 야코비 타원함수(Jacobi楕圓函數, 영어: Jacobi elliptic function)는 세 개의 특수 함수 sn, cn, dn이다. 이들은 삼각함수와 유사한 항등식들을 만족시킨다.

정의[편집]

야코비 타원함수 sn, cn, dn은 두 개의 변수 (u,m)에 대한 함수이다. 여기서 0\le m\le 1이다.

다음과 같은 타원적분을 생각하자.

u=\int_0^\phi\frac{d\theta}{\sqrt{1-m\sin^2\theta}}

그렇다면 sn, cn, dn은 다음과 같이 정의된다.

\operatorname{sn}(u;m)=\sin\phi
\operatorname{cn}(u;m)=\cos\phi
\operatorname{dn}(u;m)=\sqrt{1-m^2\sin^2\phi}

저자에 따라, 간혹 매개변수 m 대신 k=\sqrt m 또는 \alpha=\arcsin\sqrt m을 사용하는 경우도 있다. 이 경우 0\le k\le 1, 0\le\alpha\le\pi/2이다.

보조 야코비 타원함수[편집]

간혹 기본 야코비 타원함수 sn, cn, dn들의 비를 다음과 같이 정의하기도 한다.


\begin{align}
\operatorname{ns}(u) & = \frac{1}{\operatorname{sn}(u)}\\
\operatorname{nc}(u) & = \frac{1}{\operatorname{cn}(u)}\\
\operatorname{nd}(u) & = \frac{1}{\operatorname{dn}(u)}\\
\operatorname{sc}(u) & = \frac{\operatorname{sn}(u)}{\operatorname{cn}(u)}\\
\operatorname{sd}(u) & = \frac{\operatorname{sn}(u)}{\operatorname{dn}(u)}\\
\operatorname{dc}(u) & = \frac{\operatorname{dn}(u)}{\operatorname{cn}(u)}\\
\operatorname{ds}(u) & = \frac{\operatorname{dn}(u)}{\operatorname{sn}(u)}\\
\operatorname{cs}(u) & = \frac{\operatorname{cn}(u)}{\operatorname{sn}(u)}\\
\operatorname{cd}(u) & = \frac{\operatorname{cn}(u)}{\operatorname{dn}(u)}
\end{align}

항등식[편집]

야코비 타원함수들은 삼각함수와 유사한, 다음과 같은 항등식들을 만족시킨다.

\operatorname{sn}^2(u;m)+\operatorname{cn}^2(u;m)=1
m\operatorname{sn}^2(u;m)+\operatorname{dn}^2(u;m)=1

합 공식[편집]

다음과 같은 합 공식이 존재한다. 여기서 매개변수 m은 생략한다.


\begin{align}
\operatorname{cn}(x+y) & =
{\operatorname{cn}(x)\;\operatorname{cn}(y)
- \operatorname{sn}(x)\;\operatorname{sn}(y)\;\operatorname{dn}(x)\;\operatorname{dn}(y)
\over {1 - k^2 \;\operatorname{sn}^2 (x) \;\operatorname{sn}^2 (y)}}, \\[8pt]
\operatorname{sn}(x+y) & =
{\operatorname{sn}(x)\;\operatorname{cn}(y)\;\operatorname{dn}(y) +
\operatorname{sn}(y)\;\operatorname{cn}(x)\;\operatorname{dn}(x)
\over {1 - k^2 \;\operatorname{sn}^2 (x)\; \operatorname{sn}^2 (y)}}, \\[8pt]
\operatorname{dn}(x+y) & =
{\operatorname{dn}(x)\;\operatorname{dn}(y)
- k^2 \;\operatorname{sn}(x)\;\operatorname{sn}(y)\;\operatorname{cn}(x)\;\operatorname{cn}(y)
\over {1 - k^2 \;\operatorname{sn}^2 (x)\; \operatorname{sn}^2 (y)}}.
\end{align}

미분[편집]

야코비 타원함수의 미분은 다음과 같다. 여기서 매개변수 m은 생략한다.

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\, \operatorname{sn} z = \operatorname{cn}z\operatorname{dn}z
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\, \operatorname{cn}z = -\operatorname{sn}z \operatorname{dn}z
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\, \operatorname{dn}z = - m\operatorname{sn}z \operatorname{cn}z

역사[편집]

카를 구스타프 야코프 야코비가 1829년 저서 《타원함수론의 새로운 기반》(라틴어: Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum)에서 도입하였다.[1]

같이 보기[편집]

참고 문헌[편집]

  1. (라틴어) Jacobi, C. G. J. (1829년). 《Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum》. Königsberg: Borntraeger

바깥 고리[편집]