리만 구면

복소해석학에서, 리만 구면(Riemann sphere)는 복소 구조를 가진 2차원 구이다. 기호는 $\hat{\mathbb C}$.

정의

2차원 구 $\mathbb S^2$ 위에 존재할 수 있는 복소 구조는 유일하다. 구에 이렇게 복소 구조를 부여하면 1차원 복소다양체(리만 곡면)을 이루게 된다. 이 리만 곡면을 리만 구면이라고 한다.

리만 구면은 복소 평면 $\mathbb C$에 무한대 $\infty$를 추가하여 컴팩트화한 것으로 여길 수 있다. 즉, 두 복소국소좌표계 $z,\zeta\in\mathbb C$ 사이에 추이사상(transition map)을 다음과 같이 준다.

$z\sim1/\zeta$.

이와 같이 두 개의 복소 평면을 이어붙여 얻는 복소다양체는 집합으로서 $\mathbb C\sqcup\{\infty\}$이고, 위상수학적으로 구이다. 따라서 이는 리만 구를 이루게 된다.

성질

사영기하학에서, 리만 구면은 1차원 복소 사영공간이다.

리만 구면의 자기동형사상은 뫼비우스 변환이다.