이징 모형

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통계역학에서, 이징 모형(Ising model)은 강자성체 또는 반강자성체의 간단한 모형이다. 이징 모형은 강자성체를 위치가 고정되어 있는 자기 쌍극자의 격자로 나타낸다. 각 쌍극자는 +1 또는 −1 두 개의 상태를 가질 수 있고, 격자 위에서 바로 옆에 있는 쌍극자와 상호작용한다.

정의[편집]

N개의 자기 쌍극자 \mu를 포함하는 강자성체에 균일한 외부 자기장 H=h/\mu가 걸려 있다고 하자. 쌍극자는 자기장에 평행한 방향 +\mu 또는 반평행한 방향 -\mu 둘 중 하나를 가리킨다고 하자. 또한, 쌍극자 사이의 상호작용은 격자 위에서 바로 옆에 있는 경우를 제외하고는 무시할 수 있고, 바로 옆에 있는 경우에는 서로 같은 방향을 가리킬 때 위치 에너지 -\epsilon을, 서로 반대 방향을 가리킬 때 위치 에너지 \epsilon을 가진다고 하자. 그렇다면 강자성체의 해밀토니언은 다음과 같다.

E=-\epsilon\sum_{\langle ij\rangle}\sigma_i\sigma_j-h\sum_i\sigma_i.

여기서 \sigma_i=\pm1은 격자의 각 위치에서의 쌍극자의 방향을 나타내는 매개변수이고, \langle ij\rangle은 격자 위에서 서로 옆에 있는 위치 ij를 나타낸다.

\epsilon은 입자 사이의 상호작용을 나타내는 변수다. \epsilon>0이면 낮은 온도에서 쌍극자들이 서로 같은 방향을 가리키려 하고, \epsilon<0이면 낮은 온도에서 쌍극자들이 주변에 있는 쌍극자와 반대 방향을 가리키려 한다. 따라서 \epsilon>0강자성체를, \epsilon<0반강자성체를 나타낸다.

이징 모형의 풀이[편집]

2차원 이징 모형에서의 자기화

1차원에서는 상전이(phase transition) 현상이 일어나지 않는다. 하지만 이징 모형은 2차원 이상에서는 상 전이가 일어나고 특히 2차원 이징 모형은 해석적인 해를 구할 수 있다. 3차원 이상 부터는 해석적인 해를 구할 수 없고 수치적인 해만 구할 수 있으며, 4차원 이상의 경우에는 평균장 근사(Mean Field Approximation)을 통해서 3차원보다 간단하게 풀 수 있다. 대부분의 수치적 해법은 몬테 카를로 순환에서 실행되는 메트로폴리스-해스팅스 알고리즘을 이용한다.

이징 모형의 응용[편집]

이징 모형은 자석이나 초전도체를 모형화하여 연구하는데 주로 사용된다. 또한 액체를 모형화하는데 사용할 수도 있다. 최근에는 경제물리학에서 금융시장에서 시장 참여자들이 특정한 상품(주식 또는 채권 등)에 관심을 갖고 구매하게되어 가격을 결정하는 과정을 이징 모형을 이용하여 연구하기도 한다.

관련된 다른 수학적 모형[편집]

  • 퍼콜레이션: 퍼콜레이션은 각 꼭짓점의 상태는 1가지 뿐이고, 꼭짓점 사이의 연결 관계에 관심을 갖는 모형이다.

역사[편집]

빌헬름 렌츠(Wilhelm Lenz)가 제자 에른스트 이징(독일어: Ernst Ising)에게 연습 문제로 제안하였다. 이징은 1925년 박사 학위 논문[1]에서 1차원 이징 모형에는 상전이가 없다는 사실을 증명하였고, 이를 근거로 임의의 차원의 이징 모형에서 상전이가 없다고 추측하였다. 그러나 1944년에 라르스 온사게르가 2차원 이징 모형에서 상전이가 존재함을 증명하였다.[2]

같이 보기[편집]

참고 문헌[편집]

  1. Ising, Ernst (1925년). Beitrag zur Theorie des Ferromagnetismus. 《Zeitschrift für Physik》 31 (1): 253-258. doi:10.1007/BF02980577. Bibcode1925ZPhy...31..253I.
  2. Onsager, Lars (1944년). Crystal statistics I: a two-dimensional model with an order-disorder transition. 《Physical Review》 65 (3–4): 117–149. doi:10.1103/PhysRev.65.117. Bibcode1944PhRv...65..117O.

바깥 고리[편집]