페르미-디랙 통계

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통계역학에서, 페르미-디랙 통계는 열적 평형 상태에서 페르미 입자들이 보이는 통계적 분포로서, 엔리코 페르미와 폴 디랙에 의해 만들어진, 입자통계의 특별한 경우이다. 즉, 각 에너지 준위에 페르미 입자가 놓이게 되는 통계를 말한다.

좀 더 일반적으로, 페르미-디랙 통계는, 모든 페르미 입자들이 교환되는 조건 하에(즉, 어떤 페르미 입자가 다른 것과 교환되면 그 파동함수는 전체적으로 음수 부호가 붙는다) 페르미 입자들의 모든 파동함수가 반대칭관계를 보이는 것을 의미한다.

[편집] 개념

페르미 입자들은 구별 불가능한 입자이며 파울리 배타 원리를 따른다. 이를테면, 하나 이상의 입자가 같은 양자 상태에 동시에 존재하지 않는다. 페르미 입자는 1/2의 스핀을 가졌다. 통계 열물리학에서 많은 수의 입자의 행동을 묘사하는 데 사용한다. 상호작용하지 않는 페르미 입자를 모아둔 것을 페르미 기체라 부른다.

[편집] 역사

페르미-디랙 통계는 1926년에 엔리코 페르미와 폴 디랙에 의해 소개되었고, 1926년에 랄프 파울러에 의해 백색왜성으로의 별의 붕괴에 적용되었으며, 1926년에는 아놀드 좀머펠트에 의해 금속의 전자에도 적용되었다. 파스쿠알 조던은 1925년에 파울리 통계라 불렀던 같은 통계를 만들었다. 문제는 심사위원인 막스 본이 그의 논문을 다시 찾기 전까지 여섯 달이나 잊고 있었다는 것이다. 그 사이에 엔리코 페르미와 폴 디랙이 자체적으로 만들어냈다.

[편집] 큰 분배함수

$Z _G ^{FD} = \prod _{k=1} ^\infty (1 + ze ^{-\beta \epsilon_k}) \mbox{ (if } z = e ^{\beta\mu} \mbox{)}$

큰 분배함수는 다음과 같이 증명할 수 있다.

$\begin{align} Z_{G} ^{FD} &=\sum _{n_1 , n_2 , \cdots = 0} ^1 e^{-\beta (\epsilon_1 - \mu) ^{n_1}} e^{-\beta (\epsilon_2 - \mu) ^{n_2}} \cdots\\ &=\prod _{k=1} ^\infty \sum _{n_k = 0} ^1 e ^{-\beta (\epsilon_k - \mu) ^{n_k}}\\ &=\prod _{k=1} ^\infty \sum _{n_k = 0} ^1 (z e ^{-\beta\epsilon_k}) ^{n_k}\\ &=\prod _{k=1} ^\infty (1 + z e ^{-\beta \epsilon_k}) \end{align}$