디바이 모형

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응집물질물리학에서, 디바이 모형(Debye model)은 결정비열포논을 사용하여 다루는 모형이다.

역사[편집]

피터 디바이가 1912년에 발표하였다.[1]

전개[편집]

부피가 V이고, N개의 입자로 이루어져 있는 결정을 생각하자. 결정 속 포논이 다음과 같은 선형 분산 관계를 가진다고 하자.

E=\hbar v\|\mathbf k\|.

여기서 \hbar디랙 상수, v는 결정 속 음속, \mathbf k는 포논의 파수 벡터이다. (물론 실제 포논의 분산 관계는 비선형이지만, E가 매우 작은 경우에는 분산 관계를 대략 선형으로 간주할 수 있다.)

결정의 크기가 \sqrt[3]V이므로, 정상파 파수는 다음과 같다.

k_i=\pi n_i/\sqrt[3]V (n=1,2,3,4,\dots,\sqrt[3]N. i=1,2,3).

포논은 보스-아인슈타인 통계를 따르고, 화학 퍼텐셜이 0이다 (즉, 퓨가시티가 1이다). 따라서 포논 기체의 큰 바른틀 분배 함수는 다음과 같다.

\ln\Xi(\beta)=-\sum_{n_1=1}^{\sqrt[3]N}\sum_{n_2=1}^{\sqrt[3]N}\sum_{n_3=1}^{\sqrt[3]N}
3\ln\left(1-\exp(-\beta hv\sqrt{n_1^2+n_2^2+n_3^2}/2\sqrt[3]L)\right).

(여기서 3은 포논의 자유도의 수이다.)

합을 토머스-페르미 근사로 쓰면 같다.

\ln\Xi(\beta)=-3\int_0^{\sqrt[3]N}\int_0^{\sqrt[3]N}\int_0^{\sqrt[3]N}\ln\left(1-\exp(-\beta hv\|\mathbf n\|/2\sqrt[3]L)\right))\;d^3\mathbf n
\approx-\frac{3\pi}2\int_0^{\sqrt[3]{6N/\pi}}n^2\ln\left(1-\exp(-\beta hvn/2\sqrt[3]L)\right)\;dn
=-9N\int_0^1x^2\ln\left(1-\exp(-x(T_{\text{D}}/T))\right)\;dx.

여기서

T_{\text{D}}=\frac{hv}k\sqrt[3]{3N/4\pi V}

디바이 온도(Debye temperature)라고 하고, 이에 대응하는 주파수

\nu_{\text{D}}=v\sqrt[3]{3N/4\pi V}

디바이 주파수(Debye frequency)라고 한다.

디바이 결정의 에너지와 열용량[편집]

디바이 모형과 아인슈타인 모형이 예측하는 열용량. 실선은 디바이 모형, 점선은 아인슈타인 모형이다. 높은 온도에서는 두 모형 모두 뒬롱-프티 법칙(붉은 점선)에 부합하는 것을 볼 수 있다.

디바이 결정의 에너지는

E=-\frac{\partial}{\partial\beta}\ln\Xi
=9NkT_{\text{D}}\int_0^1\frac{x^3}{\exp(x(T_{\text{D}}/T))-1}\;dx
=\frac{9NkT^4}{T_{\text{D}}^3}\int_0^{T_{\text{D}}/T}\frac{y^3}{\exp y-1}\;dy

이고, 그 비열용량

c=\frac1{Nk}\frac{dE}{dT}
=9T_{\text{D}}^2\int_0^1\frac{x^4\exp(x(T_{\text{D}}/T))}{T^2(\exp(x(T_{\text{D}}/T))-1)^2}\;dx
=9(T/T_{\text{D}})^3\int_0^{T_{\text{D}}/T}\frac{y^4\exp y}{(\exp y-1)^2}\;dy

이다.

참고 문헌[편집]

  1. Debye, Peter (1912년). Zur Theorie der spezifischen Wärmen. 《Annalen der Physik》 344 (14): 789–839. doi:10.1002/andp.19123441404.