긴즈부르크-란다우 이론

긴즈부르크-란다우 이론(영어: Ginzburg–Landau model)은 물리학에서 초전도체를 다루는 현상론적인 모형으로, BCS 이론의 미시적 유효 이론이다.

정의

긴즈부르크-란다우 이론은 대전된 복소 스칼라장 $\phi$와 이와 상호작용하는 자기장 $B_{i}=\epsilon _{ijk}F_{jk}/2$을 포함하는 이론이다. 그 자유 에너지는 다음과 같다. (편의상 $\hbar =c=\mu _{0}=1$인 자연단위계를 사용하였다.)

$E={\frac {1}{4}}(F_{ij})^{2}+{\frac {1}{2}}\left|(\partial +iqA)\phi \right|^{2}+V(\phi )$

여기서 $V(\phi )$는 멕시코 모자 퍼텐셜로, 다음과 같은 꼴이다.

$V(\phi )=\lambda (|\phi |^{2}-\mu ^{2})^{2}=-2\lambda \mu ^{2}|\phi |^{2}+\lambda |\phi |^{4}+{\text{const.}}$

$-\mu ^{2}<0$이라면 전자기장의 U(1) 게이지 대칭이 자발 대칭 깨짐을 겪게 되고, 이에 따라 힉스 메커니즘에 의하여 광자가 질량을 얻게 된다.

초전도체의 성질

긴즈부르크-란다우 모형은 초전도체의 여러 현상들을 다음과 같이 설명한다.

초전도 상전이

멕시코 모자 퍼텐셜에 따라서, 충분이 높은 온도에서는 $\langle \phi \rangle =0$이며 이에 따라서 대칭 깨짐이 발생하지 않는다. 반면, 매우 낮은 온도에서는 진공이 멕시코 모자 퍼텐셜의 의 한 귀퉁이로 가라앉으면서 초전도상으로 상전이가 일어난다.

마이스너 효과

힉스 메커니즘에 따라, 광자는 질량

$m_{A}={\sqrt {2}}|q|\mu$

을 갖는다. 이에 따라서 자기장은 초전도체를 대략 길이

$\lambda =1/2m_{A}={\frac {1}{2{\sqrt {2}}|q|\mu }}$

이상 침투하지 못하고, 지수함수적으로 사라진다. 이 현상을 마이스너 효과라고 하고, 그 길이 $\lambda$를 런던 침투 길이(영어: London penetration depth)라고 한다.

결맞음 길이

결맞음 길이(영어: coherence length)는 스칼라장의 질량에 반비례하는 길이이다. 만약 $-\mu ^{2}>0$이라면 (비초전도상), 질량은 단순히

$m_{\phi }={\sqrt {-2\lambda \mu ^{2}}}$

이다. 따라서, 비초전도상에서의 결맞음 길이는

$\xi =1/m_{\phi }=1/{\sqrt {-2\lambda \mu ^{2}}}$

이다.

반면, $-\mu ^{2}<0$이라면 (초전도상), 힉스 메커니즘에 의하여 복소 스칼라장 $\phi$는 하나의 유질량 실수 스칼라장으로 바뀌게 되며, 그 질량은

$m_{\phi }'=2\mu {\sqrt {\lambda }}$

이다. 따라서, 초전도상에서의 결맞음 길이는

$\xi '=1/m_{\phi }'=1/(2\mu {\sqrt {\lambda }})$

이다.

1종과 2종 초전도체

긴즈부르크-란다우 매개변수(영어: Ginzburg–Landau parameter)는 런던 침투 길이와 결맞음 길이의 비이다.

$\kappa =\lambda /\xi '=m_{\phi }/2m_{A}=q^{-1}{\sqrt {\lambda /2}}$

스칼라 퍼텐셜은 서로 같은 전하에 대하여 인력을, 전자기력은 척력을 나타낸다. 인력에 대한 결합 상수는 $\lambda$, 척력에 대한 결합 상수는 $q^{2}$이다. 따라서

$\lambda >q^{2}$ (즉, $\kappa >1/{\sqrt {2}}$)

라면 같은 전하는 서로 끌어당기고, 반대로

$\lambda <q^{2}$ (즉, $\kappa <1/{\sqrt {2}}$)

라면 같은 전하는 서로 밀어낸다. 후자를 1종 초전도체(영어: type I superconductor), 전자를 2종 초전도체(영어: type II superconductor)라고 한다.

1·2종 초전도체는 각각 1·2종 상전이를 겪는다. 이는 1종 초전도체에서는 $\phi$의 응축(진공기댓값)이, 전자기력이 힉스 상에서 쿨롱 상으로 갈 때 양의 에너지를 가지게 되므로, 두 개의 퍼텐셜 국소($|\phi |=0$, $|\phi |=\mu$)가 생기기 때문이다. 이 경우, 상전이에 의한 잠열은 진공기댓값이 쿨롱 상에서 가지는 양의 에너지이다. 반면 2종 초전도체에서는 전자기력이 (어떤 상에 있든) 항상 스칼라장 사승 상호작용보다 약하므로, 일반 멕시코 모자 퍼텐셜과 마찬가지로 2차 상전이가 나타난다.

자기 선속의 양자화

만약 초전도체가 단일 연결 공간이 아닌 모양을 하고 있다고 하자. 그렇다면, 초전도체 속의 임의의 축약불가능한 폐곡선에 따라서, 자기 선속은 항상 $2\pi$의 정수배로 양자화된다. 이는 다음과 같이 해석할 수 있다.

$\phi =|\phi |\exp(i\theta )$

라고 놓자. 힉스 메커니즘에 따라서, $|\phi |$ 성분은 질량 $m_{\phi }'=1/\xi$의 실수 스칼라장이 되고, 나머지 각 $\theta$는 게이지장에 흡수된다. 온도가 $m_{\phi }'$보다 매우 낮다면 $|\phi |$는 매우 무거워, $|\phi |=\mu$로 놓을 수 있다 (이 극한은 스튀켈베르크 메커니즘에 해당한다). 그렇다면 $\phi$운동 방정식에 따라서

$-iqA_{\mu }\phi =\partial _{\mu }\phi =i\mu \partial _{\mu }\theta$

이고,

$-qA_{\mu }=\partial _{\mu }\theta$

이다. 그러나 $\theta$는 $2\pi$주기의 변수(즉, 각도)이므로, 다음이 성립한다. 임의의 초전도체 속의 폐곡선 $\gamma$에 대하여,

$\Phi /(-q)=\oint _{\gamma }dx\cdot A=\oint _{\gamma }d\theta =2\pi n(\theta |_{\gamma })$

이다. 여기서 $n(\theta |_{\gamma })\in \mathbb {Z}$는 원을 정의역과 공역으로 갖는 연속함수 $\theta |_{\gamma }\colon S^{1}\to S^{1}$의 감음수(winding number)이다. 따라서

$\Phi \in {\frac {2\pi }{|q|}}\mathbb {Z}$

이다. 실제 세계에서, $\phi$는 두 전자의 쿠퍼 쌍이므로, $q=-2e$이다. 즉 초전도체에서 자기 선속의 양자는

$\Phi _{0}=2\pi /e={\frac {\pi \hbar }{e}}=2.068\;{\text{Wb}}$

이다.

저항의 부재

초전도체의 경우 전기 저항이 0이다. 이는 대전된 스칼라장 $\phi$이 초유체를 이루기 때문이다. $\phi$의 위상 성분 $\phi =|\phi |\exp(i\theta )$은 힉스 메커니즘에 의하여 유질량 광자의 종파 모드가 되며, 질량 $m_{A}$를 가진다. 즉, 대전된 성분 $\theta$는 질량 간극을 가진다. 만약 온도가 $T<m_{A}$이라면, $\theta$의 에너지가 포논으로 방출될 수 없으므로, $\theta$는 대전된 초유체를 이루고, 이에 따라서 저항이 0이 된다.

역사

비탈리 긴즈부르크와 레프 란다우가 1950년에 도입하였다. 알렉세이 알렉세예비치 아브리코소프는 긴즈부르크-란다우 모형에 따라서, 2종 초전도체의 소용돌이(vortex)가 육각형 격자 모양을 이룬다는 것을 보였고, 이는 실험으로 확인되었다. 1959년에는 레프 고리코프(러시아어: Лев Петро́вич Горько́в)가 긴즈부르크-란다우 이론을 BCS 이론으로부터 유도하였다.

이 공로로 긴즈부르크와 아브리코소프는 2003년 노벨 물리학상을 수상하였다.

참고 문헌

• D. Saint-James, G. Sarma and E. J. Thomas, Type II Superconductivity Pergamon (Oxford 1969)
• Tinkham, M. (1996). 《Introduction to Superconductivity》. New York: McGraw–Hill. 
• de Gennes, Pierre-Gilles (1995). 《Superconductivity of Metals and Alloys》 (영어) 2판. Perseus Books. ISBN 0-201-40842-2.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)

같이 보기

• 란다우 이론

외부 링크

• 여준현 (2003년 11월). “Ginzburg-Landau 이론: 통찰력 있는 현상론적 이론의 위력” (PDF). 《물리학과 첨단기술》 12 (11): 4–7.