포논

1차원 격자의 정규 진동 모드. 이를 양자화하면 포논을 얻는다.

응집물질물리학에서, 포논(phonon) 또는 소리 양자는 결정 격자의 양자화된 진동을 나타내는 준입자이다. 포논은 고체의 열과 전기 전도도 등에 중요한 역할을 하며, 긴 파장의 포논은 음파를 생성한다. 포논은 계의 고전적 정규 모드(normal mode)의 양자로 생각할 수 있다.

역사

포논의 개념은 소비에트 연방의 물리학자인 이고리 예브게니예비치 탐이 1930년에 도입하였다. 포논이라는 단어는 소리를 뜻하는 그리스어: φωνή 포네^[*] 에서 유래하였고, 소비에트 연방의 물리학자인 야코프 일리치 프렌켈(Я́ков Ильи́ч Фре́нкель)이 1932년에 고안하였다.

정의

$N$개의 동일한 입자가 1차원에서 일정한 간격을 두고 배치되어 있다고 하자. 편의상 주기적 경계 조건을 부여하자. 그렇다면 그 해밀토니언은 다음과 같다.

$H=\sum_{i=1}^Np_i^2/2m+\frac12m\omega_0^2\sum_{i=1}^N(x_{i+1}-x_i)^2$.

다음과 같이 위치와 운동량의 푸리에 변환 $Q$, $\Pi$ 연산자를 정의하자.

$Q_k = {1\over\sqrt{N}} \sum_{l} e^{ikal} x_l$

$\Pi_{k} = {1\over\sqrt{N}} \sum_{l} e^{-ikal} p_l$.

이들은 일반적으로 에르미트 연산자가 아니다.

여기서 $k_n$은 포논의 양자화된 파수이다. 주기적 경계 조건에 따라 파수는 다음과 같이 양자화된다.

$k_n =\frac{2n\pi}{Na}$ ($n = 0, \pm1, \pm2, ... , \pm N/2$).

$Q$와 $\Pi$는 다음과 같이 정준 교환자 관계를 만족한다.

$[Q_k , \Pi_{k'}]= i\hbar\delta_{k,k'}$

$[Q_k , Q_{k'}]=0$

$[ \Pi_k , \Pi_{k'}] = 0$.

여기서 $\delta_{k,k'}$는 크로네커 델타이다.

이 연산자를 이용하여 원래 해밀토니언을 파수 공간에서 다음과 같이 쓸 수 있다.

$H= \frac1{2m}\sum_k \left(\Pi_k\Pi_{-k}+ m^2 \omega_k^2 Q_k Q_{-k}\right)$.

1차원 격자의 분산 관계 $\omega(k)$

여기서

$\omega_k=\omega_0\sqrt{2(1-\cos(ka))}=2\omega_0|\sin(ka/2)|$

이다. 이 관계식을 포논의 분산 관계라고 한다.

이제 해밀토니언의 에너지 준위가 다음과 같음을 알 수 있다.

$E=\sum_k(1/2+n_k)\hbar\omega_k$ ($n_k=0,1,2,\dots$).

따라서 각 파수 $k$에 대하여 에너지가 $\hbar\omega_k$의 단위로 양자화되는 것을 알 수 있다. 이 양자를 포논이라고 한다.

여기서는 주기적 경계 조건을 부여한 1차원 격자를 다뤘지만, 더 높은 차원에서도 유사하게 포논의 존재를 유도할 수 있다.

참고 문헌

• Mahan, GD (1981). 《Many Particle Physics》. New York: Springer. ISBN 0306463385