애니온

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통계역학에서, 애니온(영어: anyon)은 2+1차원 계에서 나타나는, 보손도 아니고 페르미온도 아닌 입자이다.

정의[편집]

스핀-통계 정리는 4차원 이상 민코프스키 공간에서만 성립하고, 3차원 이하에서는 성립하지 않는다. 그 이유는 3차원에서는 로런츠 군 SO(2,1)이 무한한 크기의 기본군을 갖기 때문이다. 즉, d>3인 경우

\pi_1(SO(d-1,1))=\mathbb Z/2

이므로, 그 범피복공간

SO(d-1,1)\to \operatorname{Spin}(d-1,1)\twoheadrightarrow\mathbb Z/2

의 표현은 \mathbb Z/2에 따라 보손페르미온으로 나뉜다. 반면 d=3인 경우

\pi_1(SO(2,1))=\mathbb Z

이며, 스핀-통계 정리가 성립하지 않는다.

3차원 시공간에서 n개의 점입자들은 일반적으로 꼬임군

B_n= \left \langle \sigma_1,\ldots,\sigma_{n-1}| \sigma_i\sigma_{i+1}\sigma_i=\sigma_{i+1}\sigma_i\sigma_{i+1}, \sigma_i\sigma_j=\sigma_j\sigma_i \right \rangle

의 표현을 따른다. 이 경우, 보손B_n의 작용에 대해 자명한 표현을 따르는 입자이고, 페르미온군 준동형사상

\sigma_i\mapsto 1\in\{0,1\}\cong\mathbb Z/2

B_n\to\mathbb Z/2

에 대하여 자명하지 않는 표현을 따르는 입자이다. (즉, 입자의 교환에 따라 -1이 곱해진다.)

아벨 애니온(영어: Abelian anyon)은 상

B_n\to\mathbb Z\cong\langle1\rangle
\sigma_i\mapsto1

에 대하여 자명하지 않는 표현을 따르는 입자이며, 위상 \theta\ne0,\pi에 의해 정의된다. 즉, 두 입자를 교환했을 때

|\psi_i\psi_j\rangle=\exp(i\theta)|\psi_j\psi_i\rangle

를 따른다. 여기서 \theta=0이면 보손, \theta=\pi이면 페르미온이 된다.

비아벨 애니온(영어: non-Abelian anyon)은 꼬임군 B_n의 일반적인 고차원 표현을 따르는 입자이다.

역사와 어원[편집]

1977년에 욘 망네 레이노스(노르웨이어: Jon Magne Leinaas)와 얀 뮈르헤임(노르웨이어: Jan Myrheim)이 2차원 유클리드 공간 이론에서 (아벨) 애니온이 가능함을 지적하였다.[1] 1982년에 프랭크 윌첵이 이들이 분수 양자 홀 효과에 등장함을 보였고,[2] "애니온"이라는 이름을 붙였다.[3] 여기서 "애니온"(영어: anyon 에니온[*])은 영어: any 에니[*](어떤 ~에도 상관없이, 임의의) + 영어: -on [*](입자를 나타내는 접미사)에서 왔고, 아벨 애니온이 2입자를 치환할 때 임의의 위상이 더해질 수 있다는 것에서 유래하였다.

이러한 두 입자를 교환시키면 임의의(영어: any) 위상을 얻을 수 있으므로, 이러한 입자들을 "애니온"이라고 부르겠다.
Since interchange of two of these particles can give any phase, I will call them generically anyons.
 
[3]

비아벨 애니온은 1988년에 위르크 프뢸리히(독일어: Jürg Martin Fröhlich)와 피에르 알베르토 마르케티(이탈리아어: Pier Alberto Marchetti)가 도입하였다.[4]

참고 문헌[편집]

  1. (영어) Leinaas, J.M., Jan Myrheim (11 January 1977). On the theory of identical particles. 《Il Nuovo Cimento B》 37 (1): 1–23. doi:10.1007/BF02727953. Bibcode1977NCimB..37....1L.
  2. (영어) Wilczek, F. (1982년). Magnetic flux, angular momentum, and statistics. 《Physical Review Letters》 48 (17): 1144–1146. doi:10.1103/PhysRevLett.48.1144.
  3. Wilczek, Frank (4 October 1982). Quantum mechanics of fractional-spin particles. 《Physical Review Letters》 49 (14): 957–959. doi:10.1103/PhysRevLett.49.957.
  4. (영어) Fröhlich, J., P.-A. Marchetti (1988년 11월). Quantum field theory of anyons. 《Letters in Mathematical Physics》 16 (4): 347–358.