애니온

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통계역학에서, 애니온(영어: anyon)은 2+1차원 계에서 나타나는, 보손도 아니고 페르미온도 아닌 입자이다.

정의[편집]

스핀-통계 정리는 4차원 이상 민코프스키 공간에서만 성립하고, 3차원 이하에서는 성립하지 않는다. 그 이유는 3차원에서는 로런츠 군 SO(2,1)이 무한한 크기의 기본군을 갖기 때문이다. 즉, d>3인 경우

\pi_1(SO(d-1,1))=\mathbb Z/2

이므로, 그 범피복공간

SO(d-1,1)\to \operatorname{Spin}(d-1,1)\twoheadrightarrow\mathbb Z/2

의 표현은 \mathbb Z/2에 따라 보손페르미온으로 나뉜다. 반면 d=3인 경우

\pi_1(SO(2,1))=\mathbb Z

이며, 스핀-통계 정리가 성립하지 않는다.

3차원 시공간에서 n개의 점입자들은 일반적으로 꼬임군

\operatorname{Braid}(n)= \left \langle \sigma_1,\ldots,\sigma_{n-1}| \sigma_i\sigma_{i+1}\sigma_i=\sigma_{i+1}\sigma_i\sigma_{i+1}, \sigma_i\sigma_j=\sigma_j\sigma_i \right \rangle

의 표현을 따른다. 이 경우, 보손\operatorname{Braid}(n)의 작용에 대해 자명한 표현을 따르는 입자이고, 페르미온군 준동형

\sigma_i\mapsto 1\in\{0,1\}\cong\mathbb Z/2

\operatorname{Braid}(n)\to\mathbb Z/2

에 대하여 자명하지 않는 표현을 따르는 입자이다. (즉, 입자의 교환에 따라 -1이 곱해진다.)

아벨 애니온 통계[편집]

아벨 애니온(영어: Abelian anyon)은 상

\operatorname{Braid}(n)\to\mathbb Z\cong\langle1\rangle
\sigma_i\mapsto1

에 대하여 자명하지 않는 표현을 따르는 입자이며, 위상 \theta\ne0,\pi에 의해 정의된다. 즉, 두 입자를 교환했을 때

|\psi_i\psi_j\rangle=\exp(i\theta)|\psi_j\psi_i\rangle

를 따른다. 여기서 \theta=0이면 보손, \theta=\pi이면 페르미온이 된다.

아벨 애니온은 꼬임군 \operatorname{Braid}(n)의 복소수 1차원 표현에 대응한다. 즉, 군 준동형

B_n\to U(1)

에 대응한다. 원군 U(1)아벨 군이므로, 이는 \operatorname{Braid}(n)의 아벨화를 거친다.

B_n\twoheadrightarrow \operatorname{Braid}(n)/[\operatorname{Braid}(n),\operatorname{Braid}(n)]\cong\mathbb Z\to U(1)

꼬임군의 아벨 군은 무한 순환군 \mathbb Z이다. 구체적으로, 꼬임군의 표시

\operatorname{Braid}(n)= \left \langle \sigma_1,\ldots,\sigma_{n-1}| \sigma_i\sigma_{i+1}\sigma_i=\sigma_{i+1}\sigma_i\sigma_{i+1}, \sigma_i\sigma_j=\sigma_j\sigma_i \forall |i-j|>1\right \rangle

에 대하여,

\operatorname{Braid}(n)\twoheadrightarrow\mathbb Z
\sigma_i\mapsto 1\forall i=1,\dots,n-1

이다. 준동형 \mathbb Z\to U(1)은 물론 임의의 복소수 \exp(i\theta)\in U(1)에 따라 분류된다.

꼬임 통계[편집]

비아벨 애니온(영어: non-Abelian anyon)은 꼬임군 \operatorname{Braid}(n)의 일반적인 고차원 표현을 따르는 입자이며, 이러한 입자가 따르는 통계를 꼬임 통계(영어: braid statistics)라고 한다.

파라 통계[편집]

비아벨 애니온 가운데, 표현이 대칭군 \operatorname{Sym}(n)을 거치는 것을 파라 통계(영어: parastatistics)라고 한다.

\operatorname{Braid}(n)\twoheadrightarrow\operatorname{Sym}(n)\to \operatorname U(k)

파라 통계는 어떤 정수 p에 의하여 정의되며, 이를 파라 통계의 차수(영어: order)라고 한다. 파라 보손(영어: paraboson)의 경우, 대칭군의 표현은 영 타블로 가운데 p개 이하의 행을 갖는 것들의 직합이며, 파라 페르미온(영어: parafermion)의 경우 대칭군의 표현은 영 타블로 가운데 p개 이하의 열을 갖는 것들의 직합이다. 만약 p\to\infty를 취한다면, 맥스웰-볼츠만 통계를 얻는다. 즉, 모든 입자를 서로 구별할 수 있다.

파라 보손 · 페르미온은 고차원에서도 정의될 수 있지만, 이는 3+1차원 이상의 입자에 대해서는 클라인 변환(영어: Klein transformation)을 통하여 일반 보손 · 페르미온으로 나타낼 수 있다.[1]

구체적으로, 파라 보손 장 \phi는 다음과 같은 교환 관계를 따른다.

\phi=\sum_{i=1}^p\phi_i
[\phi_i(\mathbf x),\phi_i(\mathbf y)]=0
\{\phi_i(\mathbf x),\phi_j(\mathbf y)\}=0\qquad(i\ne j)

마찬가지로, 파라 페르미온 장 \psi는 다음과 같은 교환 관계를 따른다.

\psi=\sum_{i=1}^p\psi_i
\{\psi_i(\mathbf x),\psi_i(\mathbf y)\}=0
[\psi_i(\mathbf x),\psi_j(\mathbf y)]=0\qquad(i\ne j)

[편집]

분수 양자 홀 효과[편집]

아벨 애니온의 간단한 예는 자기 선속 \Phi와 결합한, 전하 q를 갖는 입자이다.[2] 이러한 두 개의 합성 입자를 서로 교환하면, 자기 선속에 의하여 위상

\exp(iq\Phi/\hbar)

이 발생한다. 이러한 현상은 분수 양자 홀 효과를 일으킨다.

2차원 등각 장론[편집]

2차원 등각 장론은 일반적으로 꼬임 통계를 따른다.[3][4] 2차원 등각 장론에서, 국소 연산자의 상관 함수는 다음과 같이 등각 블록(영어: conformal block)에 의하여 전개된다.

\langle\phi_k(z_k)\cdots\phi_2(z_2)\phi_1(z_1)\rangle=\sum_pC(h_1,\dots,h_k;h_p)F_{h_1,\dots,h_k}(h_p;z_1,\dots,z_k)\bar F_{\bar h_1,\dots,\bar h_k}(\bar h_p;\bar z_1,\dots,\bar z_k)

가능한 등각 블록들은 복소수 벡터 공간을 이루며, 유리 등각 장론(영어: rational conformal field theory)의 경우 이는 유한 차원이다.

이 경우, 만약 k개의 국소 연산자들의 순서를 뒤섞는다면 모노드로미가 존재하며, 이는 등각 블록들의 공간에 선형 작용소로 표현된다. 이러한 행렬들을 꼬임 행렬(영어: braiding matrix) B라고 하며, 이는 꼬임군의 표현을 정의한다. 이에 따라, 2차원 등각 장론은 일반적으로 꼬임 통계를 따른다.

역사[편집]

1953년에 허버트 시드니 그린(영어: Herbert Sidney Green)이 파라 입자의 가능성을 지적하였다.[5]

1977년에 욘 망네 레이노스(노르웨이어: Jon Magne Leinaas)와 얀 뮈르헤임(노르웨이어: Jan Myrheim)이 2차원 유클리드 공간 이론에서 (아벨) 애니온이 가능함을 지적하였다.[6] 1982년에 프랭크 윌첵이 이들이 분수 양자 홀 효과에 등장함을 보였고,[7] "애니온"이라는 이름을 붙였다.[2] 여기서 "애니온"(영어: anyon 에니온[*])은 영어: any 에니[*](어떤 ~에도 상관없이, 임의의) + 영어: -on [*](입자를 나타내는 접미사)에서 왔고, 아벨 애니온이 2입자를 치환할 때 임의의 위상이 더해질 수 있다는 것에서 유래하였다.

이러한 두 입자를 교환시키면 임의의(영어: any) 위상을 얻을 수 있으므로, 이러한 입자들을 "애니온"이라고 부르겠다.
Since interchange of two of these particles can give any phase, I will call them generically anyons.
 
[2]

비아벨 애니온은 1988년에 위르크 프뢸리히(독일어: Jürg Martin Fröhlich)와 피에르 알베르토 마르케티(이탈리아어: Pier Alberto Marchetti)가 도입하였다.[8]

참고 문헌[편집]

  1. Baker, David John; Halvorson, Hans; Swanson, Noel (2014). “The conventionality of parastatistics” (영어). 《The British Journal for the Philosophy of Science》. doi:10.1093/bjps/axu018. ISSN 0007-0882. 
  2. Wilczek, Frank (1982년 10월 4일). “Quantum mechanics of fractional-spin particles” (영어). 《Physical Review Letters》 49 (14): 957–959. doi:10.1103/PhysRevLett.49.957. 
  3. Todorov, I.T.; Hadjiivanov, L.K. “Monodromy representations of the braid group” (영어). arXiv:hep-th/0012099. doi:10.1134/1.1432899. 
  4. Fröhlich, J.; Gabbiani, F. (1990). “Braid statistics in local quantum theory” (영어). 《Rev. Math. Phys.》 2: 251–353. Bibcode:1990RvMaP...2..251F. doi:10.1142/S0129055X90000107. 
  5. Green, Herbert Sidney (1953년 4월 15일). “A generalized method of field quantization” (영어). 《Physical Review》 90 (2): 270–273. doi:10.1103/PhysRev.90.270. 
  6. Leinaas, J.M.; Jan Myrheim (1977년 1월 11일). “On the theory of identical particles” (영어). 《Il Nuovo Cimento B》 37 (1): 1–23. Bibcode:1977NCimB..37....1L. doi:10.1007/BF02727953. 
  7. Wilczek, F. (1982). “Magnetic flux, angular momentum, and statistics” (영어). 《Physical Review Letters》 48 (17): 1144–1146. doi:10.1103/PhysRevLett.48.1144. 
  8. Fröhlich, J.; Marchetti, P.-A. (1988년 11월). “Quantum field theory of anyons” (영어). 《Letters in Mathematical Physics》 16 (4): 347–358. doi:10.1007/BF00402043. 

바깥 고리[편집]