아인슈타인 모형

위키백과, 우리 모두의 백과사전.
이동: 둘러보기, 검색

응집물질물리학에서, 아인슈타인 모형(Einstein model)은 고체양자 조화 진동자로 간주한 모형이다. 비교적 높은 온도에서는 정확하나, 매우 낮은 온도에서는 정확하지 않고, 대신 디바이 모형을 사용한다.

역사[편집]

알베르트 아인슈타인이 1906년 발표하였다.[1] 이 논문을 통하여, 아인슈타인은 당시 발표된 지 얼마 되지 않은 양자역학을 사용하여 고체의 비열용량을 설명할 수 있음을 보였다.

전개[편집]

N개의 입자로 이루어져 있는 고체를 생각하자. 각 입자가 3차원 양자 조화 진동자 퍼텐셜 속에 위치해 있다고 가정하고, 에너지 양자kT_{\text{E}}로 쓰자. 여기서 T_{\text{E}}아인슈타인 온도(Einstein temperature)라고 하며, 물질의 고유 성질이다.

1차원 양자 조화 진동자의 에너지 준위는

E_n=(n+1/2)kT_{\text{E}} (n=0,1,2,\dots)

이므로, 고체의 바른틀 분배 함수는 다음과 같다.

Z(T)=\left(\sum_{n=0}^\infty\exp(-(n+1/2)T_{\text{E}}/T)\right)^{3N}
=\left(2\sinh(T_{\text{E}}/2T)\right)^{-3N}

이다.

고체의 내부 에너지는 다음과 같다.

E(T)=-\frac{\partial{\ln Z}}{\partial\beta}
=\frac32NkT_{\text{E}}\coth(T_{\text{E}}/2T).

고체의 비열용량은 다음과 같다.

c(T)=\frac1{Nk}\frac{\partial E}{\partial T}
=\frac34(T_{\text{E}}/T)^2\operatorname{csch}^2(T_{\operatorname{E}}/2T).

낮은 온도와 높은 온도에서의 극한[편집]

아인슈타인 모형과 디바이 모형이 예측하는 비열의 비교. 아인슈타인 모형은 점선, 디바이 모형은 실선이다.

아인슈타인 온도보다 매우 높은 온도에서 아인슈타인 고체의 비열은

c(T)\approx3

으로 뒬롱-프티 법칙에 부합한다. 반면 아인슈타인 온도보다 매우 낮은 온도에서는

c(T)\approx3(T_{\text{E}}/T)^2\exp(-T_{\operatorname{E}}/T)

으로, 실제 고체보다 지나치게 작은 열용량을 예측한다.

참고 문헌[편집]

  1. Einstein, Albert (1906년). Die Plancksche Theorie der Strahlung und die Theorie der spezifischen Wärme. 《Annalen der Physik》 327 (1): 180–190. doi:10.1002/andp.19063270110.

바깥 고리[편집]