보스 기체

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통계역학에서, 보스 기체(Bose氣體, Bose gas)는 서로 상호작용하지 않는, 같은 종류의 보손으로 이루어진 기체다. 고전적 이상 기체에 대응하는 두 가지 양자역학적 이상 기체 가운데 하나다. 보스 기체는 보스-아인슈타인 통계를 따르며, 매우 낮은 온도에서는 상전이를 거쳐 보스-아인슈타인 응축 상태가 된다. 보스-아인슈타인 통계를 제창한 사톈드라 나스 보스의 이름을 땄다.

전개[편집]

큰 분배 함수와 큰 퍼텐셜[편집]

이상 보스 기체는 통상적으로 큰 바른틀 앙상블을 통해 다룬다. 보스 기체의 큰 분배 함수는 다음과 같다.

\mathcal{Z}(z,\beta,V) = \prod_i \left(1-ze^{-\beta\epsilon_i}\right)^{-g_i}

각 항의 곱은 부분 에너지 ε,에 대응하는 값이고, g는 ε의 에너지를 가지는 상태수이다. z는 퓨가시티로, 다음과 같다.

z(\beta,\mu)= e^{\beta \mu}.

여기서 \mu화학 퍼텐셜이고, \beta=1/kT는 볼츠만 인자이다.

큰 분배 함수의 로그큰 퍼텐셜 \Omega(z,\beta,V)는 다음과 같다.

\Omega=-\ln(\mathcal{Z}) = \sum_i g_i \ln\left(1-ze^{-\beta\epsilon_i}\right)

토머스-페르미 근사[편집]

상자 안 기체 모형에서 기술된 절차를 따르면 우리는 평균 에너지가 에너지 차이에 비해 큰 값을 가지게 되어 위 식의 합이 적분으로 대체되는 토머스-페르미 근사를 사용할 수 있다.

\Omega\approx \int_0^\infty \ln\left(1-ze^{-\beta E}\right)\,dg

겹침을 나타내는 dg는 다음과 같이 표현된다.

dg = \frac{1}{\Gamma(\alpha)}\,\frac{E^{\,\alpha-1}}{ E_c^{\alpha}} ~dE

(α: 상수, E_c:임계에너지, \Gamma(\alpha): 감마 함수) 예를 들어, 질량이 있는 상자 안 보스 기체에 대하여, α= 3/2이고, 다음과 같은 임계 에너지를 얻는다.

\frac{1}{(\beta E_c)^\alpha}=\frac{Vf}{\Lambda^3}

(Λ : 열파장) 질량이 있는 조화 트랩 안 보스 기체에서는 α= 3이고, 다음과 같은 임계 에너지를 얻는다.

\frac{1}{(\beta E_c)^\alpha}=\frac{f}{(\hbar\omega\beta)^3}

(V(r)=mω2r2/2  :조화퍼텐셜, E:부피에 대한 함수) 우리는 큰 퍼텐셜의 방정식을 테일러 급수를 적분하거나, 큰 퍼텐셜이 Li1(z exp(-β E))의 멜린 변환에 비례(Lis(x) : polylogarithm 함수)한 것을 이용하여 계산한다. 계산 결과는 다음과 같다.

\Omega\approx-\frac{\textrm{Li}_{\alpha+1}(z)}{\left(\beta E_c\right)^\alpha}

보스 기체에 대한 연속체 근사의 문제점은 바닥 상태에서 0의 에너지에 대한 겹침이 0이 되어 실제로는 무시되었다는 점이다. 이 잘못된 점은 보스-아인슈타인 응축을 다룰 때 심각한 문제가 되며, 이 문제점에 대해서는 다음 문단에서 다룰 것이다.

바닥 상태[편집]

총 입자의 수는 큰 퍼텐셜에서 다음과 같이 얻어진다.

N = -z\frac{\partial\Omega}{\partial z} \approx\frac{\textrm{Li}_\alpha(z)}{(\beta E_c)^\alpha}

이 식에서 다중로그 부분은 양의 실수이어야 하고, z=1이면 리만 제타 함수 ζ(α)와 같아지게 되는, 최대값을 얻을 수도 있다. 고정된 에 대하여 가장 큰 값은 β가 임계값 β을 가질 수 있을 때 다음 식과 같이 얻게 된다.

N = \frac{\zeta(\alpha)}{(\beta_c E_c)^\alpha}

이 식은 임계온도 Tc=1/kβc 아래에서 토머스-페르미 근사가 적용되지 않는 것에 부합한다. 위의 방정식을 정리하여 임계온도에 대한 식을 얻을 수 있다.

T_c=\left(\frac{N}{\zeta(\alpha)}\right)^{1/\alpha}\frac{E_c}{k}

예를 들어, \alpha=3/2이고, 위에서 언급되었던 E_c를 대입하면 다음과 같은 식을 얻는다.

T_c=\left(\frac{N}{Vf\zeta(3/2)}\right)^{2/3}\frac{h^2}{2\pi m k}

다시 임계 온도에 대한 결과를 계산할 수 없게 되었다. 그 이유는 위의 방정식을 이용하여 계산한 입자의 수는 음수가 되기 때문이다. 이 문제는 토머스-페르미 근사가 바닥 상태에서의 겹침을 0으로 설정했기 때문이고, 이 설정을 잘못되었다. 응축을 받아들인다면 바닥 상태는 없고 이에 따라 방정식은 틀리게 된다. 그러나 결과적으로 위의 방정식은 들뜬 상태에서의 입자수는 정확하게 예측하고, 단순히 바닥 상태 항을 따로 구분하면 나쁜 근사는 아니다.

N = N_0+\frac{\textrm{Li}_\alpha(z)}{(\beta E_c)^\alpha}

N는 바닥상태의 응축 입자수이고, 그 값은 다음과 같다.

N_0 = \frac{g_0\,z}{1-z}

이 식은 절대 영도에서도 계산할 수 있게 되었다. 표준화된 온도 τ를 다음과 같이 정의하자.

\tau=\frac{T}{T_c}

이 변수들은 낮은 온도의 극한에서 τα에 선형적이고, 화학 퍼텐셜을 제외하면, 높은 온도의 극한에서 1/τα에 선형적인 것을 볼 수 있다. 입자수가 증가하면 응축과 들뜸의 비율은 임계 온도에서 불연속적으로 도달한다. 입자수에 대한 식은 다음과 같이 표준화된 온도를 이용하여 표현할 수 있다.

N = \frac{g_0\,z}{1-z}+N~\frac{\textrm{Li}_\alpha(z)}{\zeta(\alpha)}~\tau^\alpha

과 τ이 주어지면, 이 식은 τα에 대하여 정리가 되고, 에 대한 급수해는 τα의 급수 또는 τα의 급수에 대한 역수의 점근확장을 이용한 역 급수의 방법으로 찾을 수 있다. 이 확장에서 우리는 T =0근처인 맥스웰-볼츠만 분포에서 온도는 무한에 접근하는 것을 볼 수 있다.

상자 속 기체에 대해서[편집]

양자역학에서 상자 속 양자 입자의 결과는 상자 속에 양자 이상 기체에 대한 평형 상태에서 볼 수 있다. 여기서 상자 안에 입자들은 서로 상호작용하지 않는다고 가정한다. 이러한 간단한 모델은 예를 들면 이상적인 대량의 페르미 기체와 같은 다양한 양자 이상 기체뿐만 아니라 고전적인 이상 기체들도 묘사할 수 있다.

맥스웰-볼츠만 통계, 보스-아인슈타인 통계, 또는 페르미-디랙 통계로부터 결과를 사용함으로써 매우 큰 상자의 한계를 고려한다. 토머스-페르미 근사법은 적분으로서 합과 차이로서 에너지 상태의 겹침을 표현하는 데 사용된다. 이것은 이 기체의 열역학 특성이 바른틀 분배 함수이나 큰 분배 함수를 사용하여 계산될 수 있도록 도와준다. 이러한 결과는 큰 입자나 그렇지 않은 입자들에 대해서 둘 다 적용 가능하다.

상태의 겹침에서 토머스-페르미 근사[편집]

상자 안에서 거대하거나 그렇지 않은 입자들에 대해 입자의 상태는 양자수 [nxnynz] 의 집합에 의해서 열거된다. 그 운동량의 크기는 아래와 같이 주어진다.

p=\frac{h}{2L}\sqrt{n_x^2+n_y^2+n_z^2} \text{,} \qquad n_i=1,2,3,\ldots \quad \text{for }i=x\text{, }y\text{, or }z \text{,}

h플랑크 상수이고, L은 상자의 길이이다. 입자의 각각 가능한 상태는 자연수의 3차원 격자에서 점으로서 생각될 수 있다. 원점으로부터 어떤 점까지의 거리는 아래와 같이 주어진다.

n=\sqrt{n_x^2+n_y^2+n_z^2}=\frac{2Lp}{h}

특정한 양자수 f를 가정해보자. 여기서 f는 충돌에 의해서 바꿀 수 있는 입자의 자유의 내부 정도의 숫자이다. 예를 들어 스핀 ½ 입자는 f=2이다. n의 큰 값에 대해서, p보다 작거나 같은 운동량의 크기에 대해 상태숫자에 대해서 방정식은 아래와 같이 근사된다.


g=\left(\frac{f}{8}\right)  \frac{4}{3}\pi n^3 
 = \frac{4\pi f}{3} \left(\frac{Lp}{h}\right)^3

이 식은 반지름 n의 구의 부피에 f를 곱한 것을 8로 나눈 것이다. pp+dp사이의 운동량의 크기에 대해 상태의 숫자는 다음과 같다.

dg=\frac{\pi}{2}~f n^2\,dn =  \frac{4\pi fV}{h^3}~ p^2\,dp

V=L3  는 상자의 부피이다. 이러한 연속체를 사용하여 낮은 에너지에 대한 자력을 잃었다. 바닥 상태인 n=1을 포함해서이다.

연속체 근사 없이, 에너지 \epsilon_i를 가진 입자의 수는 다음과 같이 주어진다.

 N_i = \frac{g_i}{\Phi(\epsilon_i)}.

여기서

g_i, (상태 i겹침)
 
\Phi(\epsilon_i) = 
\begin{cases} 
  e^{\beta(\epsilon_i-\mu)},  & \text{Maxwell-Boltzmann} \\
  e^{\beta(\epsilon_i-\mu)}-1, & \text{Bose-Einstein}\\ 
  e^{\beta(\epsilon_i-\mu)}+1, & \text{Fermi-Dirac}\\
\end{cases}
이 식에서 β = 1/kT, 볼츠만 상수 k, 온도 T, 화학 퍼텐셜 μ .
(맥스웰-볼츠만 통계, 보스-아인슈타인 통계, 페르미-디랙 통계를 참조)

연속체 근사를 사용하면, E  와 E+dE  사이의 에너지를 가진 입자의 숫자는 dNE이고 다음과 같이 표현된다.

dN_E= \frac{dg_E}{\Phi(E)}
여기서 \!dg_E  는 E  와 E+dE  사이의 에너지를 가진 상태의 숫자이다.

열역학[편집]

입자수에 대한 식에서 바닥상태에 해당하는 부분을 더하는 것은 큰 퍼텐셜에 바닥 상태에 해당하는 항을 더하는 것과 같다.

\Omega = g_0\ln(1-z)-\frac{\textrm{Li}_{\alpha+1}(z)}{\left(\beta E_c\right)^\alpha}

모든 열역학적 성질은 큰 퍼텐셜에서부터 계산될 수 있다. 아래의 표는 낮은 온도와 높은 온도의 극한, 그리고 무한 극한의 입자수에서 계산된 다양한 열역학적 값들을 나타낸 것이다. 등호(=)는 정확한 결과를 나타내주고 근사 기호는 \tau^\alpha의 급수 중 앞의 몇 항만 있는 경우에 해당하는 결과를 나타낸 것이다.

Quantities General T \ll T_c T \gg T_c
z Vapor fraction =1 \approx \frac{\zeta(\alpha)}{\tau^\alpha}
-\frac{\zeta^2(\alpha)}{2^\alpha\tau^{2\alpha}}
Vapor fraction
1-\frac{N_0}{N}\,
=\frac{\textrm{Li}_{\alpha}(z)}{\zeta(\alpha)}
\,\tau^\alpha =\tau^\alpha =1
상태 방정식
\frac{PV\beta}{N}=
-\frac{\Omega}{N}\,
=
\frac{\textrm{Li}_{\alpha+1}(z)}{\zeta(\alpha)}\tau^\alpha =
\frac{\zeta(\alpha\!+\!1)}{\zeta(\alpha)}\tau^\alpha \approx
1-\frac{\zeta(\alpha)}{2^{\alpha+1}\tau^\alpha}
기브스 자유 에너지
G=\ln(z)
=\ln(z) =0 \approx
\ln\left(\frac{\zeta(\alpha)}{\tau^\alpha}\right)
-\frac{\zeta(\alpha)}{2^{\alpha}\tau^\alpha}

표에서 보듯이 모든 값들은 높은 온도의 극한에서 고전 이상 기체에 근접하는 것을 볼 수 있다. 위에서 나타난 값들은 다른 열역학적 값들을 구하는 데 쓰일 수 있다. 예를 들어, 모든 온도에서의 고전 이상기체에서 내부에너지와 압력, 부피의 곱은 비례하다.

U=\frac{\partial \Omega}{\partial \beta}=\alpha PV

비슷한 경우로, 일정한 부피에서 견줌열은 다음과 같다.

C_v=\frac{\partial U}{\partial T}=k(\alpha+1)\,U\beta

엔트로피는 다음의 식으로 표현된다.

TS=U+PV-G\,

주의할 점은 높은 온도의 극한에서는

TS=(\alpha+1)+\ln\left(\frac{\tau^\alpha}{\zeta(\alpha)}\right)

의 식을 얻게 되며, α=3/2에 대하여 이면 자쿠어-테트로드 방정식(Sackur-Tetrode equation)으로 재기술된다.

참고 문헌[편집]

  • Huang, Kerson (1967). 《Statistical Mechanics》. New York: John Wiley and Sons
  • Isihara, A. (1971). 《Statistical Physics》. New York: Academic Press
  • Landau, L. D.; E. M. Lifshitz (1996). Statistical Physics, 3rd Edition Part 1. Oxford: Butterworth-Heinemann.
  • Pethick, C. J., H. Smith (2004). 《Bose-Einstein Condensation in Dilute Gases》. Cambridge: Cambridge University Press
  • Yan, Zijun (2000년). General Thermal Wavelength and its Applications. 《European Journal of Physics》 21 (6): 625-631. doi:10.1088/0143-0807/21/6/314.