다중로그

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수학에서, 다중로그(多重log, 영어: polylogarithm 폴리로거리듬[*]) 또는 폴리로그로그를 일반화한 특수 함수이다.

역사[편집]

이중로그는 17세기부터 수학계에 등장하기 시작하였다.[1] 존 랜던(영어: John Landen)은 이중로그에 대한 랜던 항등식을 1760년 증명하였다. 레온하르트 오일러닐스 헨리크 아벨은 이중로그에 대한 아벨 항등식을 1826년에 증명하였으나, 이 논문은 사후에 1881년에야 출판되었다.[2]

일반적인 다중로그는 종키에르(프랑스어: A. Jonquière)가 1889년 다루었다.[3] 이 때문에 다중로그는 종키에르 함수라고 불리기도 한다.

정의[편집]

임의의 복소수 s\in\mathbb C|z|<1인 복소수 z\in\mathbb C에 대하여, 다중로그 \operatorname{Li}_s(z)는 다음과 같은 급수로 정의된다.

\operatorname{Li}_s(z)=z+z^2/2^s+z^3/3^s+\dots

이는 모든 z\in\mathbb C에 대하여 해석적 연속으로 정칙적으로 확장할 수 있다. 이 경우 극점이나 본질적 특이점은 존재하지 않지만, 일부 s에서는 분지절단을 갖는다. 이 경우 분지점은 z=1z=\infty이며, 통상적으로 1 이하의 실수에 대하여 분지절단을 가한다.

s=2인 경우 이중로그(二重log, 영어: dilogarithm), s=3인 경우 삼중로그(三重log, 영어: trilogarithm) 따위의 이름을 사용한다.

성질[편집]

정의에 따라, z=1인 경우 다중로그는 단순히 리만 제타 함수이다.

\operatorname{Li}_s(1)=\zeta(s)

마찬가지로, z=-1인 경우 다중로그는 디리클레 에타 함수이다.

\operatorname{Li}_s(-1)=-\eta(s)

다중로그의 도함수는 낮은 차수의 다중로그로 주어진다. 이는 급수 정의로부터 쉽게 유도된다.

z\frac\partial{\partial z}\operatorname{Li}_{s-1}(z)

낮은 차수의 다중로그[편집]

1중로그는 다음과 같이 (통상적) 로그로 주어진다. (이 때문에 ‘다중로그’라는 이름이 붙었다.)

\operatorname{Li}_1(z)=-\ln(1-z)

도함수 공식을 사용하여, 0 이하의 정수 차수의 다중로그는 다음과 같이 유리함수임을 증명할 수 있다.

\operatorname{Li}_{-n}(z) = \left( z\frac\partial{\partial z}\right)^n\frac z{1-z}= \sum_{k=0}^n k!S(n+1, k+1) \left(\frac z{1-z}\right)^{k+1} \qquad (n=0,1,2,\ldots)

여기서 S(n,k)제2종 스털링 수이다.

적분 표현[편집]

다중로그는 다음과 같은 적분으로 표현할 수 있다. 이러한 적분들은 통계역학에서 보스-아인슈타인 통계페르미-디랙 통계를 다룰 때 등장한다. 보스-아인슈타인 적분 표현은 다음과 같다.

\operatorname{Li}_s(z)=\frac1{\Gamma(s)}
\int_0^\infty {t^{s-1} \over e^t/z-1} \,dt \qquad\left(\operatorname{Re}s>0,\;z\in\mathbb C\setminus[1,\infty)\right)

페르미-디랙 적분 표현은 다음과 같다.


\operatorname{Li}_{s}(-z) = -\frac1{\Gamma(s)}\int_0^\infty {t^{s-1} \over e^t/z+1} \,dt\qquad\left(\operatorname{Re}s>0,\;z\in\mathbb C\setminus(-\infty,-1]\right)

참고 문헌[편집]

  1. (영어) Maximon, L.C. (2003년). The dilogarithm Function for complex argument. 《Proceedings of the Royal Society A》 459 (2039): 2807–2819. doi:10.1098/rspa.2003.1156. Zbl 1050.33002.
  2. (프랑스어) Abel, N.H. [1826] (1881년). 〈Note sur la fonction \scriptstyle \psi x \,= \,x+ \frac{x^2}{2^2}+ \frac{x^3}{3^2}+ \cdots+ \frac{x^n}{n^2}+ \cdots〉, 《Œuvres complètes de Niels Henrik Abel − Nouvelle édition, Tome II》. Christiania: Grøndahl & Søn, 189–193쪽
  3. (프랑스어) Jonquière, A. (1889년). Note sur la série \scriptstyle \sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n^s}. 《Bulletin de la Société Mathématique de France》 17: 142–152. JFM 21.0246.02.

바깥 고리[편집]