스펙트럼 (함수해석학)

함수해석학에서, 유계 작용소 또는 바나흐 대수의 원소의 스펙트럼(영어: spectrum)은 그 고윳값의 집합을 일반화한 개념이다.

정의

가환환 $R$ 위의 (항등원을 갖는) 결합 대수 $A$의 원소 $a\in A$의 분해 집합(分解集合, 영어: resolvent set)은 다음과 같은 집합이다.^{:252, Definition 10.10}

$\rho (a)=\left\{\lambda \in R\colon \lambda -a\in \operatorname {Unit} (A)\right\}$

여기서 $\operatorname {Unit} (A)$는 $A$의 가역원군이다. 즉, $\lambda -a$가 가역원이 되는 스칼라 $\lambda$들의 집합이다. 분해 집합의 여집합을 $a$의 스펙트럼 $\sigma (a)$라고 한다.^{:252, Definition 10.10; 104, Definition 4.17(c)}

$\sigma (a)=R\setminus \rho (a)=\left\{\lambda \in R\colon \lambda -a\not \in \operatorname {Unit} (A)\right\}\subseteq R\qquad (a\in A)$

이 경우, 원소 $(\lambda -a)^{-1}\in A$를 $a$의 $\lambda$에서의 분해식(分解式, 영어: resolvent)이라고 한다.

$\mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}$가 실수체 또는 복소수체이며, $A$가 $\mathbb {K}$-결합 대수라고 하자. 이 경우, 원소 $a\in A$의 스펙트럼 반지름(spectrum半지름, 영어: spectral radius)은 그 스펙트럼의 절댓값의 상한이다.^{:253, Definition 10.10}

$\operatorname {spec\,rad} (a)=\sup _{\lambda \in \sigma (a)}|\lambda |$

만약 $A$가 $\mathbb {K}$-바나흐 대수라면, 그 원소의 스펙트럼은 항상 콤팩트 집합이므로, 이 경우 상한은 최댓값이 된다.

유계 작용소의 스펙트럼

$\mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}$가 실수체 또는 복소수체라고 하자. $\mathbb {K}$-바나흐 공간 $V$ 위의 유계 작용소의 집합 $\operatorname {B} (V,V)$는 $\mathbb {K}$-바나흐 대수를 이루며, 이에 대하여 분해 집합과 스펙트럼의 개념을 정의할 수 있다. 일반적으로, 열린 사상 정리에 따라서 바나흐 공간 사이의 전단사 유계 작용소의 역함수는 유계 작용소이다. 즉, $\operatorname {B} (V,V)$의 원소가 가역원인 것은 전단사 함수인 것과 동치이다.

바나흐 공간 위의 유계 작용소의 스펙트럼은 추상적인 바나흐 대수의 원소의 스펙트럼보다 더 구체적으로 분석될 수 있다. 즉, $\mathbb {K}$-바나흐 공간 $V$ 위의 유계 작용소 $T\colon V\to V$의 스펙트럼 $\sigma (T)$는 다음과 같은 분리합집합으로 분해된다.

$\sigma (T)=\sigma _{\text{p}}(T)\sqcup \sigma _{\text{r}}(T)\sqcup \sigma _{\text{c}}(T)$

이 성분들은 각각

• 점 스펙트럼(點spectrum, 영어: point spectrum) $\sigma _{\text{p}}(T)$
• 잔여 스펙트럼(殘餘spectrum, 영어: residual spectrum) $\sigma _{\text{r}}(T)$
• 연속 스펙트럼(連續spectrum, 영어: continuous spectrum) $\sigma _{\text{c}}(T)$

이며, 다음과 같다.

어떤 수 $\lambda \in \mathbb {K}$에 대하여 $\lambda \in \sigma (T)$이려면 $T-\lambda$가 전단사 함수이지 않아야 한다. 즉, 다음 "문제" 가운데 적어도 하나가 발생해야 한다.

• $T-\lambda$가 단사 함수가 아니다. 이러한 $\lambda$들의 집합을 점 스펙트럼 $\sigma _{\text{p}}(T)$라고 한다. 이 경우 $\lambda$는 $T$의 고윳값이며, $Tv=\lambda v$인 고유 벡터 $v\in V$가 존재한다.
• $T-\lambda$가 단사 함수이지만, 전사 함수가 아니다.
  • $T-\lambda$는 단사 함수이지만 그 상이 조밀 집합이 아니다. 이러한 $\lambda$들의 집합을 잔여 스펙트럼 $\sigma _{\text{r}}(T)$라고 한다.
  • $T-\lambda$는 단사 함수이며 그 상이 조밀 집합이지만 전사 함수가 아니다. 이러한 $\lambda$들의 집합을 연속 스펙트럼 $\sigma _{\text{c}}(T)$라고 한다. 이 경우, $(T-\lambda )^{-1}\colon (T-\lambda )(V)\to V$는 $V$의 조밀 집합 $(T-\lambda )(V)$ 위에 정의되는, 비유계 작용소이다.

성질

복소수 바나흐 대수의 원소의 스펙트럼은 공집합이 아니다.^{:253, Theorem 10.13(a):756, Theorem 1}

증명:

복소수 바나흐 대수 $A$의 원소 $a\in A$가 주어졌다고 하고, 귀류법을 사용하여 $\sigma (a)=\varnothing$이라고 하자. 또한, 연속 쌍대 공간 $A'$의 임의의 원소 $f\in A'$를 고르자.

그렇다면, 이제 함수

$h\colon \mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {C}$

$h\colon r\mapsto \int _{0}^{2\mathrm {\pi } }f\left((r\exp(\mathrm {i} \theta )-a)^{-1}\right)\mathrm {d} \theta$

를 정의하자. 그렇다면,

${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} h}{\mathrm {d} r}}&=\int _{0}^{2\pi }{\frac {\partial }{\partial r}}f\left((r\exp(\mathrm {i} \theta )-a)^{-1}\right)\mathrm {d} \theta \\&=\int _{0}^{2\pi }f(a(r^{2}\exp(2\mathrm {i} \theta ))\exp(\mathrm {i} \theta )\mathrm {d} \theta \\&={\frac {1}{\mathrm {i} r}}\int _{0}^{2\pi }f(a(r^{2}\exp(2\mathrm {i} \theta ))\mathrm {i} r\exp(\mathrm {i} \theta )\mathrm {d} \theta \\&={\frac {1}{\mathrm {i} r}}\int _{0}^{2\pi }{\frac {\partial }{\partial \theta }}f\left((r\exp(\mathrm {i} \theta )-a)^{-1}\right)\mathrm {d} \theta \\&=0\end{aligned}}$

이다. (이는 피적분 함수가 ${\mathcal {C}}^{1}$이므로 가능하다.) 즉, $h$는 상수 함수이며, 그 값은

$\lim _{r\to 0}h(r)=-2\pi f(a^{-1})$

이다.

이제, 임의의 $r>\|a\|$에 대하여

$2\pi |f(a^{-1})|=|h(r)|\leq \int _{0}^{2\pi }|f\left((r\exp(\mathrm {i} \theta )-a)^{-1}\right)\mathrm {d} \theta \leq 2\pi {\frac {\|f\|}{r-\|a\|}}$

가 되므로, 사실 $f(a^{-1})=0$이어야만 한다. 즉, 임의의 $f\in A'$에 대하여 $f(a^{-1})=0$이어야만 한다. 그런데 $a^{-1}\neq 0$이므로 이는 참일 수 없으며, 모순이다.

복소수 바나흐 대수 $A$의 원소 $a\in A$의 스펙트럼 반지름은 다음과 같은 겔판트 공식(영어: Gelfand formula)에 의하여 주어진다.^:195–197

$\operatorname {spec\,rad} (a)=\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{\|a^{n}\|}}$

(반면, 유한 또는 무한 차원 실수 바나흐 공간 위의 유계 작용소의 스펙트럼은 공집합일 수 있다.)

$\mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}$에 대하여, $\mathbb {K}$-바나흐 공간 위의 유계 작용소 $T$의 스펙트럼은 항상 $\mathbb {K}$ 속의 콤팩트 집합이다.^{:253, Theorem 10.13(a)} 특히

$|\lambda |\leq \|T\|\qquad (\forall \lambda \in \sigma (T))$

이다. 여기서 $\|T\|$는 작용소 노름이다.

유한 차원

$V=\mathbb {K} ^{n}$가 유한 차원 $\mathbb {K}$-바나흐 공간이라고 하자. 그렇다면, $\mathbb {K}$-선형 변환 $V\to V$가 단사 함수이거나 전사 함수인 것은 전단사 함수인 것과 동치이다 (차원 정리). 이에 따라, 유한 차원 $\mathbb {K}$-바나흐 공간 위의 작용소의 경우 오직 점 스펙트럼만이 존재하고, 잔여·연속 스펙트럼은 존재하지 않는다.

특히, 선형 변환 $T\colon V\to V$(즉, 행렬)의 스펙트럼 반지름은 그 고윳값들의 절댓값 가운데 가장 큰 것이다.

콤팩트 작용소

복소수 바나흐 공간 $V$ 위의 콤팩트 작용소 $T\colon V\to V$의 경우, 다음이 성립한다.

• 연속 스펙트럼은 항상 공집합 또는 $\{0\}$이다.
• 잔여 스펙트럼은 항상 공집합 또는 $\{0\}$이다.

즉, 스펙트럼은 0을 제외하고는 모두 점 스펙트럼(고윳값)으로 구성된다.

정규 작용소

복소수 힐베르트 공간 위의 정규 작용소의 잔여 스펙트럼은 공집합이다.

복소수 힐베르트 공간 $V$ 위의 정규 작용소 $T\colon V\to V$의 스펙트럼 반지름은 다음과 같다.

$\operatorname {spec\,rad} (T)=\sup _{v\in V\setminus \{0\}}{\frac {|\langle v,Tv\rangle |}{\langle v,v\rangle }}$

보다 일반적으로, 위 등식의 우변을 유계 작용소의 수치 반지름(數値半지름, 영어: numerical radius)이라고 하며, 스펙트럼 반지름이 수치 반지름과 일치하는 유계 작용소를 스펙트럼형 작용소(spectrum型作用素, 영어: spectraloid operator)라고 한다.

분해식

$\mathbb {K}$-바나흐 대수 $A$의 원소 $a\in A$ 및 $z\in \rho (a)$에 대하여, 만약 $\|a\|<|z|$라면, 분해식의 다음과 같은 노이만 급수(Neumann級數, 영어: Neumann series)가 (노름으로 정의되는 거리 위상에서) 수렴한다.^{:250, Chapter 10}

${\frac {1}{z-a}}={\frac {1}{z}}\sum _{n=0}^{\infty }(a/z)^{n}$

증명:

위 급수는 당연히 코시 열이며, $A$가 바나흐 대수(즉, 완비 거리 공간)이므로 이는 수렴한다.

예

행렬

실수 행렬

${\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}$

는 $\mathbb {R} ^{2}$ 위의 작용소로서 스펙트럼이 공집합이다. 그러나 이는 $\mathbb {C} ^{2}$ 위의 작용소로서 점 스펙트럼 $\{\pm \mathrm {i} \}$를 갖는다.

시프트

복소수 힐베르트 공간 $V=\ell ^{2}(\mathbb {C} )$를 생각하자. 그렇다면 사상

$T\colon (x_{1},x_{2},\dots )\mapsto (0,x_{1},x_{2},\dots )$

은 유계 작용소이며, 사실 콤팩트 작용소이다. $T$는 고윳값을 가지지 않지만, $T$는 전사 함수가 아니므로 $T$의 스펙트럼은 $\{0\}$이다. 이 경우, $T$의 상은 사실 조밀 집합조차 아니므로, 이 0은 잔여 스펙트럼에 속한다.

곱셈

임의의 $1\leq p\leq \infty$에 대하여, 측도 공간 $(X,\Sigma ,\mu )$ 위의 르베그 공간

$V=\operatorname {L} ^{p}(X,\Sigma ,\mu ;\mathbb {K} )$

는 $\mathbb {K}$-바나흐 공간을 이룬다. 그 위의 가측 함수

$f\colon (X,\Sigma )\to (\mathbb {K} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {K} ))$

의 상이 유계 집합이라고 하자. (물론, 어떤 영집합 $N\subseteq X$에 대하여 $f\upharpoonright (X\setminus N)$의 상이 유계 집합인 것만으로도 족하다.) 여기서 ${\mathcal {B}}(\mathbb {K} )$는 보렐 시그마 대수이다. 그렇다면, 점별 곱셈으로 정의되는 작용소

$T_{f}\colon V\to V$

$T_{f}\colon g\mapsto fg$

는 $\mathbb {K}$-유계 작용소이다.

이제, 집합

$\operatorname {ess\,ran} f\subseteq \mathbb {K}$

를 다음과 같이 정의하자.

$\lambda \in \operatorname {ess\,ran} f{\overset {\text{def}}{\iff }}\forall \epsilon \in \mathbb {R} ^{+}\colon \mu \left(f^{-1}(\operatorname {ball} _{\mathbb {K} }(\lambda ,\epsilon ))\right)>0$

그렇다면, $\operatorname {ess\,ran} f=\sigma (T_{f})$이다.

증명 ($\operatorname {ess\,ran} f\supseteq \sigma (T_{f})$):

임의의 $\lambda \in \mathbb {K} \setminus \operatorname {ess\,ran} f$가 주어졌다고 하자. 즉, 정의에 따라

$\mu \left(f^{-1}(\operatorname {ball} _{\mathbb {K} }(\lambda ,\epsilon ))\right)=0$

인 양의 실수 $\epsilon >0$이 존재한다.

그렇다면, 가측 함수

$g\colon (X,\Sigma )\to (\mathbb {K} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {K} ))$

$g\colon x\mapsto {\frac {1}{\lambda -f(x)}}$

를 생각하자. 그렇다면,

$T_{g}\circ (\lambda -T_{f})=1$

이다. 따라서 $\lambda \in \rho (T_{f})$이다.

증명 ($\operatorname {ess\,ran} f\subseteq \sigma (T_{f})$, $p<\infty$):

임의의 $\lambda \in \operatorname {ess\,ran} f$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 가측 함수의 열

$g_{n}={\frac {1}{{\mu \left(f^{-1}\left(\operatorname {ball} _{\mathbb {K} }(\lambda ,1/n)\right)\right)}^{1/p}}}\chi _{f^{-1}\left(\operatorname {ball} _{\mathbb {K} }(\lambda ,1/n)\right)}\in \operatorname {L} ^{p}(X,\Sigma ,\mu ;\mathbb {K} )\qquad (n\in \mathbb {Z} ^{+})$

을 정의하자. (여기서 $\chi$는 지시 함수이다.)

그렇다면,

$\left(\|(\lambda -T_{f})g_{n}\|_{\operatorname {L} ^{p}}\right)^{p}={\frac {1}{\mu \left(f^{-1}\left(\operatorname {ball} _{\mathbb {K} }(\lambda ,1/n)\right)\right)}}\int _{f^{-1}\left(\operatorname {ball} _{\mathbb {K} }(\lambda ,1/n)\right)}|\lambda -f|^{p}\mathrm {d} \mu \leq {\frac {1}{n^{p}}}$

이므로, 특히

$\lim _{n\to \infty }\|(\lambda -T_{f})g_{n}\|_{\operatorname {L} ^{p}}=0$

이다. 이에 따라, $\lambda -T_{f}$의 역함수는 유계 작용소일 수 없다.

증명 ($\operatorname {ess\,ran} f\subseteq \sigma (T_{f})$, $p=\infty$):

임의의 $\lambda \in \operatorname {ess\,ran} f$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 가측 함수의 열

$g_{n}=\chi _{f^{-1}\left(\operatorname {ball} _{\mathbb {K} }(\lambda ,1/n)\right)}\in \operatorname {L} ^{\infty }(X,\Sigma ,\mu ;\mathbb {K} )\qquad (n\in \mathbb {Z} ^{+})$

을 정의하자. (여기서 $\chi$는 지시 함수이다.)

그렇다면,

$\|(\lambda -T_{f})g_{n}\|_{\operatorname {L} ^{\infty }}=\operatorname {ess\,sup} \left(|\lambda -f|\upharpoonright f^{-1}\left(\operatorname {ball} _{\mathbb {K} }(\lambda ,1/n)\right)\right)\leq 1/n$

이므로, 특히

$\lim _{n\to \infty }\|(\lambda -T_{f})g_{n}\|_{\operatorname {L} ^{\infty }}=0$

이다. 이에 따라, $\lambda -T_{f}$의 역함수는 유계 작용소일 수 없다.

그 스펙트럼의 분해는 다음과 같다.

임의의 $\lambda \in \operatorname {ess\,ran} f$에 대하여, 만약 $\mu ^{-1}(\{\lambda \})>0$이라면, $\lambda \in \sigma _{\text{p}}(T_{f})$이며, 만약 그렇지 않다면 $\lambda \in \sigma _{\text{c}}(T_{f})$이다. 특히, $T_{f}$는 잔여 스펙트럼을 갖지 않는다.

증명 ($\mu (f^{-1}(\{\lambda \}))>0\implies \lambda \in \sigma _{\text{p}}(T_{f})$):

지시 함수 $\chi _{f^{-1}(\{\lambda \})}$는 $\lambda$의 고유 벡터이다.

증명 ($\mu (f^{-1}(\{\lambda \}))=0\implies \lambda \in \sigma _{\text{c}}(T_{f})$):

임의의

$g\in \operatorname {L} ^{p}(X,\Sigma ,\mu ;\mathbb {K} )$

에 대하여, 다음과 같은 가측 함수의 열을 정의하자.

$h_{n}={\frac {g}{\lambda -f}}\chi _{X\setminus f^{-1}(\operatorname {ball} _{\mathbb {K} }(\lambda ,1/n))}\qquad (n\in \mathbb {Z} ^{+})$

여기서 $\chi$는 지시 함수이다.

그렇다면, 지배 수렴 정리에 따라

$(\lambda -T_{f})h_{n}\,{\overset {\operatorname {L} ^{p}}{\to }}\,g$

이다. 즉, $\lambda -T_{f}$의 상은 항상 조밀 집합이다.

결합 대수

가환환 $R$를 스스로 위의 결합 대수로 간주하였을 때, 원소 $r\in R$의 스펙트럼은

$\sigma (r)=R\setminus (r+\operatorname {Unit} (R))$

이다. (여기서 $\operatorname {Unit} (R)=\{r\in R\colon \exists r^{-1}\}$는 가역원군이다.)

사원수 대수 $\mathbb {H}$는 실수 바나흐 대수를 이루며, 사원수 $a\in \mathbb {H}$의 스펙트럼은 다음과 같다.

$\sigma (a;\mathbb {R} )=\mathbb {R} \cap \{a\}$

(특히, 만약 $a\not \in \mathbb {R} \subseteq \mathbb {H}$이라면 $\sigma (a)=\varnothing$이다.)

마찬가지로, 복소수체 $\mathbb {C}$를 실수 바나흐 대수로 간주하였을 때, $z\in \mathbb {C}$의 스펙트럼은 다음과 같다.

$\sigma (z;\mathbb {R} )=\mathbb {R} \cap \{z\}$

(특히, 만약 $z\not \in \mathbb {R} \subseteq \mathbb {H}$이라면 $\sigma (z)=\varnothing$이다.) 물론, $\mathbb {C}$를 복소수 바나흐 대수로 간주하였을 때, $\sigma (z;\mathbb {C} )=\{z\}$이다.

연속 함수 대수

콤팩트 하우스도르프 공간 $X$ 위의 $\mathbb {K}$-바나흐 대수 ${\mathcal {C}}^{0}(X,\mathbb {K} )$의 원소 $f\in {\mathcal {C}}^{0}(X,\mathbb {K} )$의 스펙트럼은 그 상이다.

$\sigma (f)=\{f(x)\colon x\in X\}\subseteq \mathbb {K}$

역사

유계 작용소의 분해식의 노이만 급수는 에리크 이바르 프레드홀름이 1903년에 최초로 사용하였다.

"스펙트럼"(독일어: Spektrum 슈펙트룸^[*])과 "분해식"(독일어: Resolvente 레졸벤테^[*])이라는 용어는 다비트 힐베르트가 도입하였다. "스펙트럼"이라는 용어는 작용소의 스펙트럼을 물리학의 원자 스펙트럼 등에 비유한 것이다.

응용

양자역학에서, 복소수 힐베르트 공간

${\mathcal {H}}={\mathcal {L}}^{2}(\mathbb {R} ;\mathbb {C} )$

위에 매끄러운 함수인 퍼텐셜

$V\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$

이 주어졌으며,

$\inf _{x\in \mathbb {R} }V(x)>\infty$

이라고 하자. 이 경우, 해밀토니언 연산자

$H=-{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}+V(x)$

를 ${\mathcal {H}}$의 조밀 집합 위에 정의할 수 있으며, 이에 따라 임의의 양이 아닌 실수 성분을 갖는 복소수

$\alpha \in \mathbb {C} ,\;\Re (\alpha )\leq 0$

에 대하여 유계 작용소

$\exp(\alpha H)\colon {\mathcal {H}}\to {\mathcal {H}}$

를 정의할 수 있다. 이는 정규 작용소이며, 따라서 잔여 스펙트럼을 갖지 않는다. 또한, 그 스펙트럼은 항상

$\sigma (\exp(\alpha H))=\{\exp(\alpha E)\colon E\in \mathbb {R} \}$

의 꼴이다. 이에 따라, $E$를 $H$의 스펙트럼으로 여길 수 있다.

$\Re (\alpha )<0$의 경우, $\exp(\alpha H)$의 점 스펙트럼은 대략 퍼텐셜에 대한 속박 상태를 나타내고, 연속 스펙트럼은 자유 상태를 나타낸다.

외부 링크

• “Spectrum of an operator”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Resolvent set”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Operator spectrum”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Spectral radius”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Spectrum of an operator”. 《nLab》 (영어). 
• “What is the origin of the term “spectrum” in mathematics?” (영어). Math Overflow.