스펙트럼 (함수해석학)

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함수해석학에서, 유계작용소스펙트럼(영어: spectrum)은 그 고윳값의 집합을 일반화한 개념이다.

정의[편집]

k실수 또는 복소수라고 하자. k-바나흐 공간 V위의 유계작용소 T\colon V\to V스펙트럼\lambda I-T전단사함수이 아닌 수 \lambda\in k들의 집합이다. T의 스펙트럼을 \sigma(T)라고 쓴다.

성질[편집]

유한 차원 공간 k^n 위의 유계작용소의 스펙트럼은 그 행렬로서의 고윳값의 집합이다. 그러나 바나흐 공간이 무한차원이면 스펙트럼은 고윳값이 아닌 값들을 포함한다. 예를 들어, V힐베르트 공간 \ell^2이라고 하자. 그렇다면 사상

T\colon(x_1,x_2,\dots)\mapsto(0,x_1,x_2,\dots)

유계선형작용소이다. T는 고윳값을 가지지 않지만, T의 스펙트럼은 \{0\}이다.

복소 유계작용소의 스펙트럼은 공집합이 될 수 없다. 반면, 유계작용소의 고윳값의 집합은 공집합일 수 있다.

실수 바나흐 공간 위의 유계작용소는 스펙트럼조차 공집합일 수도 있다. 예를 들어, 행렬

\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}

\mathbb R^2 위의 연산자로서 스펙트럼이 공집합이다.

스펙트럼의 분해[편집]

바나흐 공간 V 위의 유계작용소 T\colon V\to V의 스펙트럼 \sigma(T)는 다음과 같은 분리합집합으로 분해된다.

\sigma(T)=\sigma_\text{p}(T)\sqcup\sigma_\text{r}(T)\sqcup\sigma_\text{c}(T)

이 성분들은 각각

  • 점 스펙트럼(點spectrum, 영어: point spectrum) \sigma_\text{p}(T)
  • 잔여 스펙트럼(殘餘spectrum, 영어: residual spectrum) \sigma_\text{r}(T)
  • 연속 스펙트럼(連續spectrum, 영어: continuous spectrum) \sigma_\text{c}(T)

이며, 다음과 같다.

일반적으로, 열린 사상 정리에 따라서 전단사 유계작용소의 역은 유계작용소이다. \lambda\in\sigma(T)이려면 T-\lambda가 비가역이어야 하므로, 다음 조건 가운데 하나가 성립하여야 한다.

유한 차원의 경우 (행렬), 오직 점 스펙트럼만이 존재하고, 잔여·연속 스펙트럼은 존재하지 않는다. 잔여 스펙트럼은 보통 예외적인 경우로 취급하며, 정규작용소와 같은, 비교적 "좋은" 연산자의 경우 잔여 스펙트럼이 존재하지 않는다.

예를 들어, 양자역학에서 해밀토니언 H는 점 스펙트럼과 연속 스펙트럼을 갖는다. 점 스펙트럼은 대략 속박 상태를 나타내고, 연속 스펙트럼은 2개 이상의 입자의 산란 과정을 나타낸다. (물론, 일반적으로 H는 비유계작용소이므로, 엄밀히 말하면 \exp(iH)와 같은 작용소를 고려해야 한다.)

참고 문헌[편집]

  • Rudin, W. Functional Analysis, 2nd ed. New York: McGraw-Hill, 1991.
  • Dales et al., Introduction to Banach Algebras, Operators, and Harmonic Analysis, ISBN 0-521-53584-0

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