라플라스 방법

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라플라스 방법의 예. 적분 \int\exp(\lambda\sin(x)/x)\,dx (푸른 선)를 라플라스 방법으로 근사한다. 첫 그림은 \lambda=0.5인 경우, 둘째 그림은 \lambda=3인 경우다. \lambda가 증가할 수록 적분이 가우스 함수(붉은 선)의 적분에 근접하는 것을 알 수 있다.

수학에서, 라플라스 방법(영어: Laplace’s method)은 실변수 함수의 적분을 그 극대점 근처에서 근사하는 방법이다.

정의[편집]

2차 미분가능 함수 f\colon D\subset\mathbb R^n\to\mathbb RD내부 x_0\in\operatorname{int}U에서 최댓값을 갖는다고 하고, 이 점에서의 헤세 행렬행렬식\det Hf(x_0)이라고 하자.

그렇다면 다음과 같은 근사법이 성립한다. 매우 큰 \lambda\in\mathbb R^+에 대하여,

\int_Dg(x)\exp(\lambda f(x))\,dx\approx\exp(\lambda f((x_0))\sqrt{\frac{(2\pi/\lambda)^n}{|\det Hf(x_0)|}}\left(g(x_0)+\mathcal O(\lambda^{-1})\right)

역사[편집]

피에르시몽 라플라스가 1774년 도입하였다.[1]

참고 문헌[편집]

  1. (프랑스어) Laplace, P. S. (1774년). Mémoire sur la probabilité des causes par les événements. 《Mémoires de l’Académie Royale des Sciences de Paris》 6.

바깥 고리[편집]

  • (영어) Laplace method. 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer (2001).

같이 보기[편집]