그래프 데카르트 곱

그래프 데카르트 곱의 예. 5개의 꼭짓점 및 5개의 변을 갖는 그래프와 4개의 꼭짓점 및 3개의 변을 갖는 그래프의 데카르트 곱은 5×4=20개의 꼭짓점을 가지며, 5×3+4×5=35개의 변을 가진다.

그래프 데카르트 곱의 예. 5개의 꼭짓점 및 6개의 변을 갖는 그래프와 2개의 꼭짓점 및 1개의 변을 갖는 그래프의 데카르트 곱은 5×2=10개의 꼭짓점을 가지며, 5×1+2×6=17개의 변을 가진다.

그래프 이론에서 그래프 데카르트 곱(graph Descartes곱, 영어: Cartesian product of graphs)은 두 그래프를 합치는 이항 연산이다. 이렇게 얻은 그래프의 꼭짓점의 수는 원래 두 그래프의 꼭짓점의 수들의 곱과 같다.

정의

그래프의 족 $(\Gamma _{i})_{i\in I}$의 그래프 데카르트 곱

$\Gamma ={\prod \!\!\!\!\!\!\!\!}\!\coprod _{i\in I}\Gamma _{i}$

은 다음과 같은 그래프이다.

${\mathsf {V}}(\Gamma )=\prod _{i\in I}{\mathsf {V}}(\Gamma _{i})$

$uv\in {\mathsf {E}}(\Gamma )\iff \exists i\in I\colon \left(u_{i}v_{i}\in {\mathsf {E}}(\Gamma _{i})\land \forall j\in I\setminus \{i\}\colon u_{i}=v_{j}\right)$

즉, 데카르트 곱 $\Gamma$는 다음과 같은 그래프이다.

• 그 꼭짓점 $v\in {\mathsf {V}}(\Gamma )$은 각 성분 $\Gamma _{i}$의 꼭짓점들의 열 $(v_{i})_{i\in I}$, $v_{i}\in {\mathsf {V}}(\Gamma _{i})$이다.
• 두 꼭짓점 $u,v\in {\mathsf {V}}(\Gamma )$이 변으로 연결되어 있을 필요 충분 조건은 어떤 성분 $i\in I$에 대하여, $u_{i}$와 $v_{i}$가 그래프 $\Gamma _{i}$에서 변으로 연결되며, 나머지 성분들이 모두 일치하는 것이다.

두 그래프 $\Gamma$, $\Gamma '$의 데카르트 곱은 $\Gamma \,\square \,\Gamma '$으로 표기한다.

성질

그래프 데카르트 곱은 (표준적 그래프 동형 아래) 결합 법칙과 교환 법칙을 따른다. 그래프 데카르트 곱의 항등원은 한원소 그래프 ${\mathsf {K}}_{1}$이다.

두 그래프 $\Gamma$, $\Gamma '$에 대하여 다음이 성립한다.

$\left|{\mathsf {V}}\left({\prod \!\!\!\!\!\!\!\!}\!\coprod _{i\in I}\Gamma _{i}\right)\right|=\prod _{i\in I}|{\mathsf {V}}(\Gamma _{i})|$

$\left|{\mathsf {E}}\left({\prod \!\!\!\!\!\!\!\!}\!\coprod _{i\in I}\Gamma _{i}\right)\right|=\sum _{i\in I}|{\mathsf {E}}(\Gamma _{i})|\prod _{j\in I\setminus \{i\}}|{\mathsf {V}}(\Gamma _{j})|$

(무한 그래프의 경우 이는 기수의 연산으로 해석한다.)

인접 행렬

두 유한 그래프 $\Gamma$, $\Gamma '$의 데카르트 곱의 인접 행렬은 다음과 같다.

${\mathsf {A}}_{\Gamma \,\square \Gamma '}={\mathsf {A}}_{\Gamma }\otimes 1_{{\mathsf {V}}(\Gamma ')}+1_{{\mathsf {V}}(\Gamma )}\otimes {\mathsf {A}}_{\Gamma '}$

여기서 $\otimes$는 행렬의 크로네커 곱이다.

특히, $\Gamma \,\square \,\Gamma '$의 스펙트럼(인접 행렬의 고윳값의 중복집합)은 $\Gamma$와 $\Gamma '$의 스펙트럼의 합이다.

$\operatorname {Spec} (\Gamma \,\square \,\Gamma ')=\operatorname {Spec} (\Gamma )+\operatorname {Spec} (\Gamma ')=\{\lambda +\lambda '\colon \lambda \in \operatorname {Spec} \Gamma ,\;\lambda '\in \operatorname {Spec} \Gamma '\}$

채색수

유한한 채색수를 가진, 하나 이상의 꼭짓점을 갖는 두 (유한 또는 무한) 그래프 $\Gamma$, $\Gamma '$의 데카르트 곱의 채색수는 각 그래프의 채색수 가운데 최댓값이다. (두 그래프 가운데 하나가 꼭짓점을 갖지 않는다면 그 데카르트 곱의 채색수는 자명하게 0이다.)

$\chi (\Gamma \,\square \,\Gamma ')={\begin{cases}\max _{i\in I}\{\chi (\Gamma ),\chi (\Gamma ')\}&(\Gamma \neq \varnothing \neq \Gamma ')\\0&(\varnothing \in \{\Gamma ,\Gamma '\})\end{cases}}$

증명:

$\Gamma$ 또는 $\Gamma '$ 가운데 적어도 하나가 꼭짓점을 갖지 않는 경우는 자명하다. 따라서 둘 다 공그래프가 아니라고 가정하자.

편의상

$N=\max\{\chi (\Gamma ),\chi (\Gamma ')\}$

으로 표기하자. 채색

$c\colon {\mathsf {V}}(\Gamma )\to \mathbb {Z} /(N)$

$c'\colon {\mathsf {V}}(\Gamma ')\to \mathbb {Z} /(N)$

이 주어졌을 때,

$C\colon {\mathsf {V}}(\Gamma \,\square \,\Gamma ')\to \mathbb {Z} /(N)$

$C\colon (v,v')\mapsto c(v)+c'(v')$

는 $\Gamma \,\square \,\Gamma$ 위의 채색을 이룬다. 따라서

$\chi (\Gamma \,\square \,\Gamma ')\leq N$

이다. 그러나 $\Gamma$와 $\Gamma '$은 둘 다 $\Gamma \,\square \,\Gamma '$의 부분 그래프이다. 따라서

$\chi (\Gamma \,\square \,\Gamma ')\geq N$

이다.

특히, 두 그래프의 데카르트 곱이 이분 그래프일 필요 충분 조건은 다음과 같다.

• 둘 다 이분 그래프이거나, 또는 둘 가운데 하나가 $\varnothing$이다.

데카르트 곱 분해

한원소 그래프 ${\mathsf {K}}_{1}$이 아닌 두 그래프의 데카르트 곱으로 표현될 수 없는 그래프를 데카르트 소 그래프(Descartes素graph,영어: Cartesian-prime graph)라고 하자.

모든 연결 유한 그래프는 소 그래프들의 데카르트 곱으로 표현될 수 있으며, 이러한 표현은 (순서를 무시하면) 유일하다. 그러나 연결 그래프가 아닌 그래프의 경우 이러한 표현은 일반적으로 유일하지 않다. 예를 들어, 다음이 성립한다.

$({\mathsf {K}}_{1}\sqcup {\mathsf {K}}_{2}\sqcup {\mathsf {K}}_{2}^{\square 2})\,\square \,({\mathsf {K}}_{1}\sqcup {\mathsf {K}}_{2}^{\square 3})=({\mathsf {K}}_{1}\sqcup {\mathsf {K}}_{2}^{\square 2}\sqcup {\mathsf {K}}_{2}^{\square 4})\,\square ({\mathsf {K}}_{1}\sqcup {\mathsf {K}}_{2})$

예

작은 그래프의 데카르트 곱에 대하여 다음이 성립한다. 여기서 ${\mathsf {K}}_{i}$는 완전 그래프이며, ${\bar {\mathsf {K}}}_{i}$는 무변 그래프이며, ${\mathsf {C}}_{i}$는 순환 그래프이며, ${\mathsf {P}}_{i}$는 경로 그래프이다. $\Gamma$는 임의의 그래프이다.

${\mathsf {K}}_{1}\,\square \,\Gamma =\Gamma$

${\mathsf {K}}_{2}\,\square \,{\mathsf {K}}_{2}={\mathsf {C}}_{4}$

${\mathsf {K}}_{2}\,\square \,{\mathsf {C}}_{4}=$ 정육면체 그래프

${\bar {\mathsf {K}}}_{i}\,\square \,{\bar {\mathsf {K}}}_{j}={\bar {\mathsf {K}}}_{ij}$

${\bar {\mathsf {K}}}_{i}\,\square \,\Gamma =\Gamma ^{\sqcup i}$

• 
  ${\mathsf {K}}_{2}\,\square \,{\mathsf {K}}_{2}$
• 
  ${\bar {\mathsf {K}}}_{2}\,\square \,{\bar {\mathsf {K}}}_{3}$
• 
  ${\bar {\mathsf {K}}}_{3}\,\square \,{\mathsf {K}}_{2}$
• 
  ${\bar {\mathsf {K}}}_{2}\,\square \,{\mathsf {K}}_{3}$
• 
  ${\mathsf {K}}_{3}\,\square \,{\mathsf {K}}_{2}$
• 
  ${\mathsf {K}}_{2}\,\square \,{\mathsf {K}}_{2}\,\square \,{\mathsf {K}}_{2}$
• 
  ${\mathsf {P}}_{3}\,\square \,{\mathsf {P}}_{3}$
• 
  ${\mathsf {K}}_{3}\,\square \,{\mathsf {K}}_{3}$
• 
  ${\mathsf {C}}_{5}\,\square \,{\mathsf {K}}_{2}$
• 
  ${\mathsf {C}}_{6}\,\square \,{\mathsf {K}}_{2}$
• 
  ${\mathsf {K}}_{2}\,\square \,{\mathsf {K}}_{2}\,\square \,{\mathsf {P}}_{3}$
• 
  ${\mathsf {K}}_{2}\,\square \,{\mathsf {K}}_{2}\,\square \,{\mathsf {K}}_{3}$
• 
  ${\mathsf {C}}_{7}\,\square \,{\mathsf {K}}_{2}$
• 
  ${\mathsf {C}}_{5}\,\square \,{\mathsf {K}}_{3}$
• 
  ${\mathsf {K}}_{2}\,\square \,{\mathsf {K}}_{2}\,\square \,{\mathsf {K}}_{2}\,\square \,{\mathsf {K}}_{2}$
• 
  ${\mathsf {P}}_{8}\,\square \,{\mathsf {K}}_{2}$
• 
  ${\mathsf {K}}_{8}\,\square \,{\mathsf {K}}_{8}$

역사

그래프 데카르트 곱은 1912년에 알프레드 노스 화이트헤드와 버트런드 러셀이 《수학 원리》 2권에서 최초로 사용하였다. 이후 게르트 자비두시(독일어: Gert Sabidussi, 1929〜)가 1960년에 이 연산을 재발견하였다.

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Graph Cartesian product”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.