인접행렬

그래프 이론에서 인접 행렬(隣接行列, 영어: adjacency matrix)은 그래프에서 어느 꼭짓점들이 변으로 연결되었는지 나타내는 정사각 행렬이다.

정의

$n$개의 꼭짓점이 있는 그래프 $\Gamma$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 실수 내적 공간

$H=\mathbb {R} ^{\operatorname {V} (\Gamma )}$

을 정의할 수 있다. $\Gamma$의 인접 행렬 ${\mathsf {A}}_{\Gamma }$은 $H$ 위의 선형 변환 $H\to H$이며, 그 성분은 다음과 같다.

$\langle j|{\mathsf {A}}_{\Gamma }|i\rangle ={\begin{cases}1&ij\in \operatorname {E} (\Gamma )\\0&ij\not \in \operatorname {E} (\Gamma )\\\end{cases}}$

(편의상 브라-켓 표기법을 사용하였다.) 이는 정의에 따라 대칭 연산자이다.

보다 일반적으로, 이와 같은 정의를 다중 그래프에 대하여 일반화할 수 있다. 이 경우, $({\mathsf {A}}_{\Gamma })_{ij}$는 $i$와 $j$ 사이의 변의 수가 된다. 다만, 이 경우 문헌에 따라 고리(시작과 끝이 같은 변)를 세는 법이 다를 수 있다.

화살집의 인접 행렬

국소 유한 화살집 (즉, 임의의 두 꼭짓점 사이의 변 집합이 유한한 화살집) $Q$의 인접 행렬은 실수 선형 변환

${\mathsf {A}}_{Q}\colon \mathbb {R} ^{\operatorname {V} (Q)}\to \mathbb {R} ^{\operatorname {V} (Q)}$

이며, 그 성분은 다음과 같다.

$\langle j|{\mathsf {A}}_{Q}|i\rangle =|\hom _{Q}(i,j)|$

즉, $A_{ij}$는 $v_{i}$에서 시작하고 $v_{j}$에서 끝나는 변의 수이다. 만약 이러한 변이 없다면 $A_{ij}=0$이다. 특히, $A_{ii}$는 꼭짓점 $v_{i}$에서 스스로로 가는 변의 수이다. 이는 물론 일반적으로 대칭 연산자가 아니다.

이에 따라, 화살집 $Q$에 대하여,

$\langle j|{\mathsf {A}}_{Q}^{n}|i\rangle \in \mathbb {N}$

은 꼭짓점 $i\in \operatorname {V} (\Gamma )$에서 꼭짓점 $j\in \operatorname {V} (\Gamma )$로 가는, 길이 $n$의 보행의 수이다. (여기서 편의상 브라-켓 표기법을 사용하였다.) 마찬가지로, 대각합

$\operatorname {tr} {\mathsf {A}}_{Q}^{n}$

은 길이 $n$의 순환의 수이다.

성질

유한 그래프 $\Gamma$의 인접 행렬의 고윳값의 집합을 $\Gamma$의 스펙트럼(영어: spectrum)이라고 하고, $\operatorname {Spec} \Gamma$로 표기하자.

그래프는 자기 고리를 가질 수 없으므로, 그래프의 인접 행렬의 대각 성분들은 모두 0이다. 이에 따라, 그 대각합은 항상 0이다. 즉, 스펙트럼의 원소들의 (중복수를 고려한) 합은 0이다.

$\Gamma$의 스펙트럼의 최댓값 $\lambda _{1}(\Gamma )$은 $\Gamma$의 최대 차수(한 꼭짓점에 연결된 변의 수의 최댓값)보다 같거나 작다.

$\max \operatorname {Spec} (\Gamma )\leq \max \deg _{\Gamma }=\max _{i\in \operatorname {V} (\Gamma )}\deg _{\Gamma }i$

증명:

임의의 고윳값 $\lambda \in \operatorname {Spec} (\Gamma )$ 및 이에 대응하는 고유 벡터 $|v\rangle \in \mathbb {R} ^{\operatorname {V} (\Gamma )}$를 생각하자. 이제

$i=\operatorname {arg\,max} _{j\in \operatorname {V} (\Gamma )}|\langle j|v\rangle |$

라고 하자. (최댓값이 되는 꼭짓점이 여러 개라면, 임의로 하나를 고른다.) 또한, 일반성을 잃지 않고 $\langle i|v\rangle >0$으로 가정할 수 있다. (아니라면, $v\mapsto -v$를 취하면 된다.)

그렇다면,

$\lambda \langle i|v\rangle =\langle i|{\mathsf {A}}_{\Gamma }v\rangle =\sum _{j\in \operatorname {V} (\Gamma )}\langle i|{\mathsf {A}}_{\Gamma }|j\rangle \langle j|v\rangle \leq \sum _{j\in \operatorname {V} (\Gamma )}\langle i|{\mathsf {A}}_{\Gamma }|j\rangle \langle i|v\rangle =(\deg _{\Gamma }i)\langle i|v\rangle$

이다. 따라서,

$\lambda \leq \deg _{\Gamma }i\leq \max \deg _{\Gamma }$

이다.

또한, 유한 정규 그래프 $\Gamma$에 대하여, 이 부등식이 포화된다.

$\max \operatorname {Spec} (\Gamma )=\max \deg _{\Gamma }=\max _{i\in \operatorname {V} (\Gamma )}\deg _{\Gamma }i$

정규 그래프의 경우 이 고윳값 $\max \deg _{\Gamma }$의 중복수는 $\Gamma$의 연결 성분의 수와 같다. 각 연결 성분 $C\subseteq \Gamma$에 대응하는 고유 벡터 $|\psi _{C}\rangle$는 각 연결 성분 $C$에 대하여

$\langle i|\psi _{C}\rangle ={\begin{cases}1&i\in C\\0&i\not \in C\end{cases}}$

의 꼴이다. 특히,

$(1,1,\dotsc ,1)$

는 항상 고윳값 $\max \deg _{\Gamma }$의 고유 벡터를 이룬다.

연산에 대한 호환

임의의 두 그래프 $\Gamma$, $\Gamma '$에 대하여,

$\operatorname {Spec} (\Gamma \sqcup \Gamma ')=\operatorname {Spec} \Gamma \sqcup \operatorname {Spec} \Gamma '$

이다. 여기서 좌변은 그래프의 분리합집합이며, 우변은 중복집합의 분리합집합이다.

임의의 두 그래프 $\Gamma$, $\Gamma '$에 대하여,

$\operatorname {Spec} (\Gamma \square \Gamma ')=\{\lambda +\lambda '\colon \lambda \in \operatorname {Spec} \Gamma ,\;\lambda '\in \operatorname {Spec} \Gamma '\}$

이다. 여기서 $\square$는 그래프의 그래프 데카르트 곱을 뜻한다.

그래프 동형

같은 스펙트럼을 갖지만 서로 동형이 아닌 두 그래프

같은 수의 꼭짓점을 갖는 임의의 두 유한 그래프 $\Gamma$, $\Gamma '$에 대하여, 두 그래프가 동형일 필요 충분 조건은

$P{\mathsf {A}}_{\Gamma }={\mathsf {A}}_{\Gamma '}P$

인 치환행렬

$P\colon \mathbb {R} ^{\operatorname {V} (\Gamma )}\to \mathbb {R} ^{\operatorname {V} (\Gamma ')}$

가 존재하는 것이다.

반면, 서로 동형이 아니지만, 스펙트럼이 같은 그래프들이 알려져 있다.

응용

인접 행렬의 특정 원소에 접근하는 데 걸리는 시간이 상수 시간이라면 꼭짓점 i에서 꼭짓점 j로 가는 변이 있는지를 상수 시간에 알 수 있다. 꼭짓점의 개수를 n이라고 할 때 인접행렬을 만드는 데 $O(n^{2})$시간을 쓰게 되므로, 인접행렬을 이용한 그래프 알고리즘의 시간 복잡도는 이보다 더 좋을 수 없다. 따라서 변이 희소한 경우에는 인접 리스트 표현 방식이 유리하다.

예

다음과 같은 유한 그래프를 생각하자.

이 그래프의 인접 행렬은 다음과 같은 대칭 행렬이다.

$A={\begin{pmatrix}0&1&0&0&1&0\\1&0&1&0&1&0\\0&1&0&1&0&0\\0&0&1&0&1&1\\1&1&0&1&0&0\\0&0&0&1&0&0\\\end{pmatrix}}$

이 그래프의 스펙트럼은 다음과 같다.

$\{2.54,1.08,0.26,-0.54,-1.21,-2.14\}$

이들의 합은 0이며, 그 최댓값 2.54는 그래프의 최대 차수 3보다 작다.

무변 그래프

무변 그래프 ${\bar {\mathsf {K}}}_{n}$의 인접 행렬은 영행렬이다.

${\mathsf {A}}_{{\bar {\mathsf {K}}}_{n}}=0$

그 스펙트럼의 유일한 원소는 0이며, 그 중복수는 $n$이다.

완전 그래프

완전 그래프 ${\mathsf {K}}_{n}$의 인접 행렬은 다음과 같은 꼴이다.

${\mathsf {A}}_{{\mathsf {K}}_{n}}=\mu _{n\times n}-1_{n\times n}$

여기서 $\mu$는 모든 성분이 1인 행렬이다.

그 스펙트럼은 다음과 같다.

$\operatorname {Spec} {\mathsf {A}}_{{\mathsf {K}}_{n}}=\{n-1,\underbrace {-1,-1,\dotsc ,-1} _{n-1}\}$

완전 이분 그래프

완전 이분 그래프 ${\mathsf {K}}_{m,n}$의 인접 행렬은 다음과 같은 꼴이다.

${\mathsf {A}}_{{\mathsf {K}}_{m,n}}={\begin{pmatrix}0_{m\times m}&\mu _{m\times n}\\\mu _{n\times m}&0_{n\times n}\end{pmatrix}}$

여기서 $\mu$는 모든 성분이 1인 행렬이다.

완전 이분 그래프 ${\mathsf {K}}_{m,n}$의 스펙트럼은 다음과 같다.

$\operatorname {Spec} {\mathsf {K}}_{m,n}=\{+{\sqrt {mn}},-{\sqrt {mn}},\underbrace {0,0,\dotsc ,0} _{m+n-2}\}$

고윳값 $\pm {\sqrt {mn}}$의 고유 벡터는

${\sqrt {n}}\sum _{i\in C_{m}}|i\rangle \pm {\sqrt {m}}\sum _{j\in C_{n}}|j\rangle$

이다. (여기서 $C_{m},C_{n}\subseteq \operatorname {V} (\Gamma )$는 완전 이분 그래프의 꼭짓점 집합의 분할이다.)

순환 그래프

순환 그래프 ${\mathsf {C}}_{n}$의 인접 행렬은 다음과 같다.

${\mathsf {C}}_{n}=\sum _{i=0}^{n-1}(|i\rangle \langle i+1|+|i+1\rangle \langle i|)$

(여기서 $i\in \mathbb {Z} /(n)$으로 여긴다. 즉, $n\equiv 0$이다.)

그 스펙트럼은 다음과 같다.

$\operatorname {Spec} {\mathsf {C}}_{n}=\left\{2\cos {\frac {2\pi i}{n}}\colon i\in \{0,1,\dotsc ,n-1\}\right\}$

특히, $\pm 2$가 아닌 모든 고윳값들의 중복수는 2이다. ($\pm 2$의 중복수는 1이다.)

경로 그래프

$n$개의 꼭짓점을 갖는 경로 그래프 ${\mathsf {P}}_{n}$의 인접 행렬은 다음과 같다.

${\mathsf {P}}_{n}=\sum _{i=1}^{n-1}(|i\rangle \langle i+1|+|i+1\rangle \langle i|)$

그 스펙트럼은 다응과 같다.

$\operatorname {Spec} {\mathsf {P}}_{n}=\left\{2\cos {\frac {\pi i}{n+1}}\colon i\in \{1,\dotsc ,n\}\right\}$

특히, 만약 $\lambda$가 스펙트럼에 속한다면 $-\lambda$도 스펙트럼에 속한다. 모든 고윳값의 중복수는 1이다.

딘킨 도표

ADE형의 단순 리 대수 ${\mathfrak {g}}$의 딘킨 도표는 그래프를 이룬다. 이 그래프의 스펙트럼은 다음과 같은 꼴이다.

$\left\{2\cos {\frac {(d_{i}-1)\pi }{{\mathsf {h}}({\mathfrak {g}})}}\colon i\in \{1,\dotsc ,\operatorname {rank} {\mathfrak {g}}\}\right\}$

여기서

• $\operatorname {rank} {\mathfrak {g}}$는 ${\mathfrak {g}}$의 계수(${\mathfrak {g}}$의 최대 아벨 부분 리 대수의 차원 = 딘킨 도표의 꼭짓점의 수)이다.
• ${\mathsf {h}}({\mathfrak {g}})$는 ${\mathfrak {g}}$의 콕서터 수이다.
• $d_{i}$는 ${\mathfrak {g}}$의 딘킨 도표의 각 꼭짓점에 대응되는 차수들이다. 예를 들어, 리 대수 ${\mathfrak {d}}_{n}$의 경우 $d_{i}=2,4,6,\dotsc ,2n-2$이다.

외부 링크

• “Adjacency matrix”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Adjacency matrix”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Brouwer, Andries E. “Some simple graph spectra” (PDF) (영어).