이합체 모형

통계역학과 그래프 이론에서 이합체 모형(二合體模型, 영어: dimer model)은 어떤 그래프 위의 완벽 부합들의 공간 위에 정의되는 통계역학 모형이다.

정의

이합체 모형

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

• 유한 그래프 $\Gamma$
• 실수 값 함수 $E\colon \operatorname {E} (\Gamma )\to \mathbb {R}$. 이를 각 변의 에너지라고 한다.

그렇다면, $\Gamma$의 완벽 부합들의 집합을

$\operatorname {PerfMatch} (\Gamma )\subseteq \operatorname {Pow} (\operatorname {E} (\Gamma ))$

로 표기하자. 통계 역학에서, 완벽 부합은 보통 이합체 배치(二合體配置, 영어: dimer configuration)라고 하며, 그래프의 변은 이합체라고 한다. 즉, 흔히 사용되는 수학 용어 및 대응되는 물리학 용어는 다음과 같다.

수학	물리학
변	이합체(영어: dimer)
꼭짓점	단량체(영어: monomer)
완벽 부합	이합체 배치
변의 무게(영어: weight)	이합체의 에너지
꼭짓점의 무게(영어: weight)	단량체의 에너지

이제, 다음과 같은 통계 역학 모형을 정의할 수 있다.

• 위상 공간은 완벽 부합의 집합 $\operatorname {PerfMatch} (\Gamma )$이다.
• 임의의 완벽 부합 $M\in \operatorname {PerfMatch} (\Gamma )$의 에너지는 부합에 속하는 변들의 에너지들의 합 $\textstyle E(M)=\sum _{e\in M}E(e)$이다.
• 온도 $T=1/\beta$에서, 위상 공간 위의 측도는 이 에너지 함수 $\operatorname {PerfMatch} (\Gamma )\to \mathbb {R}$로 정의되는 기브스 측도이다.

  $Z(\beta ;\Gamma )=\sum _{M\in \operatorname {PerfMatch} (\Gamma )}\exp \left(-\beta \sum _{e\in M}E(e)\right)$

  $\Pr(M;\beta )={\frac {\exp \left(-\beta E(M)\right)}{Z}}\qquad (M\in \operatorname {PerfMatch} (\Gamma ))$

여기서 값 $Z(\beta ;\Gamma )$는 분배 함수이다. 이 통계 역학 모형을 이합체 모형이라고 한다.

단량체-이합체 모형

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

• 유한 그래프 $\Gamma$
• 실수 값 함수 $E_{2}\colon \operatorname {E} (\Gamma )\to \mathbb {R}$. 이를 이합체 에너지(二合體energy, 영어: dimer energy)라고 한다.
• 실수 값 함수 $E_{1}\colon \operatorname {V} (\Gamma )\to \mathbb {R}$. 이를 단량체 에너지(單量體energy, 영어: monomer energy)라고 한다.

그렇다면, $\Gamma$의 부합들의 집합을

$\operatorname {Match} (\Gamma )\subseteq \operatorname {Pow} (\operatorname {E} (\Gamma ))$

로 표기하자.

이제, 다음과 같은 통계 역학 모형을 정의할 수 있다.

• 위상 공간은 부합의 집합 $\operatorname {Match} (\Gamma )$이다.
• 임의의 부합 $M\in \operatorname {Match} (\Gamma )$의 에너지는 부합에 속하는 변들의 이합체 에너지들과, 부합에 인접하지 않는 꼭짓점들의 단량체 에너지들의 합이다.

  $E(M)=\sum _{e\in M}E_{2}(e)+\sum _{v\in \operatorname {V} (\Gamma \setminus M)}E_{1}(v)$

• 온도 $T=1/\beta$에서, 위상 공간 위의 측도는 이 에너지 함수 $\operatorname {Match} (\Gamma )\to \mathbb {R}$로 정의되는 기브스 측도이다.

  $Z(\Gamma )=\sum _{M\in \operatorname {Match} (\Gamma )}\exp \left(-\beta E(M)\right)$

  $\Pr(M)={\frac {\exp \left(-\beta E(M)\right)}{Z}}\qquad (M\in \operatorname {Match} (\Gamma ))$

여기서 값 $Z(\Gamma )$는 분배 함수이다. 이 통계 역학 모형을 단량체-이합체 모형(영어: monomer–dimer model)이라고 한다.

성질

단량체-이합체 모형과 이합체 모형의 관계

적어도 하나 이상의 완벽 부합을 갖는 유한 그래프 위에서, 만약 단량체 에너지를 무한대로 취할 경우,

$E_{1}\to \infty$

단량체-이합체 모형은 이합체 모형으로 수렴한다.

상관 함수

유한 그래프 $\Gamma$ 위의 이합체 모형이 주어졌다고 하자. 각 변 $e\in \operatorname {E} (\Gamma )$에 대하여, 관측 가능량 $\sigma (e;M)$을 지시 함수

$\sigma (e;M)={\begin{cases}1&e\in M\\0&e\not \in M\end{cases}}$

로 정의할 수 있다. 이에 따라, 임의의 변 집합

$S\subseteq \operatorname {E} (\Gamma )$

에 대하여, 상관 함수

$\left\langle \prod _{e\in S}\sigma (e)\right\rangle =\sum _{S\subseteq M\in \operatorname {PerfMatch} (\Gamma )}\Pr(M)\in [0,1]$

를 정의할 수 있다. 만약 $S$가 서로 닿는 두 변을 포함한다면,

$\left\langle \prod _{e\in S}\sigma (e)\right\rangle =0$

이다.

보다 일반적으로, 유한 그래프 $\Gamma$ 위의 단량체-이합체 모형이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 각 변 $e\in \operatorname {E} (\Gamma )$ 및 각 꼭짓점 $v\in \operatorname {V} (\Gamma )$에 대하여 지시 함수 관측 가능량

$\sigma (e;M)={\begin{cases}1&e\in M\\0&e\not \in M\end{cases}}$

$\sigma (v;M)={\begin{cases}1&v\in \operatorname {V} (\Gamma \setminus M)\\0&v\not \in \operatorname {V} (\Gamma \setminus M)\end{cases}}$

을 정의할 수 있다. 이에 따라, 임의의 변 집합

$S_{2}\subseteq \operatorname {E} (\Gamma )$

및 꼭짓점 집합

$S_{1}\subseteq \operatorname {V} (\Gamma )$

에 대하여, 상관 함수

$\left\langle \prod _{e\in S}\sigma (e)\right\rangle =\sum _{\scriptstyle S_{2}\subseteq M\in \operatorname {Match} (\Gamma ) \atop \scriptstyle S_{1}\subseteq \operatorname {V} (\Gamma \setminus M)}\Pr(M)\in [0,1]$

를 정의할 수 있다. 만약 $S_{2}$가 서로 닿는 두 변을 포함하거나, 만약 $S_{2}$의 원소가 $S_{1}$의 원소와 인접한다면,

$\left\langle \prod _{v\in S_{1}}\sigma (v)\prod _{e\in S_{2}}\sigma (e)\right\rangle =0$

이다.

예

피셔 격자

2차원 이징 모형은 피셔 격자(영어: Fisher lattice)라는 어떤 특별한 평면 삼차 그래프 위의 이합체 모형과 동치이다.^:§1 피셔 격자는 정12각형과 정삼각형으로 구성된 평면 테셀레이션의 그래프이다.

구체적으로, 평면의 정사각 격자 그래프에서, 각 꼭짓점

╳

을 나비 모양의 삼차 그래프

─┬┐ ┌┬─
 │├─┤│
─┴┘ └┴─

로 치환하여 얻는다. 즉, (45도 회전하여 그린) 사각형 격자의 부분

 ╳
╳ ╳
 ╳

은 피셔 격자의 부분

      ─┬┐ ┌┬─
       │├─┤│
─┬┐ ┌┬─┴┘ └┴─┬┐ ┌┬─
 │├─┤│       │├─┤│
─┴┘ └┴─┬┐ ┌┬─┴┘ └┴─
       │├─┤│
      ─┴┘ └┴─

에 대응한다. 이 경우, 각 꼭짓점에서 완벽 부합은 다음과 같은 8개의 가능한 꼴을 가진다.

피셔 격자의 완벽 부합	평면 이징 모형의 스핀 배열
─┰┐ ┌┰─ ┃┝━┥┃ ─┸┘ └┸─	╲ ╱ + ╲ ╱ ╲ ╱ + + ╱ ╲ ╱ ╲ + ╱ ╲	╲ ╱ − ╲ ╱ ╲ ╱ − − ╱ ╲ ╱ ╲ − ╱ ╲
━┭┐ ┌┰─ │┝━┥┃ ━┵┘ └┸─	╲ ╱ + ╲ ╱ ╲ ╱ − + ╱ ╲ ╱ ╲ + ╱ ╲	╲ ╱ − ╲ ╱ ╲ ╱ + − ╱ ╲ ╱ ╲ − ╱ ╲
─┰┐ ┌┮━ ┃┝━┥│ ─┸┘ └┶━	╲ ╱ + ╲ ╱ ╲ ╱ + − ╱ ╲ ╱ ╲ + ╱ ╲	╲ ╱ − ╲ ╱ ╲ ╱ − + ╱ ╲ ╱ ╲ − ╱ ╲
━┭┐ ┏┭─ │┟─┦│ ─┶┛ └┶━	╲ ╱ + ╲ ╱ ╲ ╱ − + ╱ ╲ ╱ ╲ − ╱ ╲	╲ ╱ − ╲ ╱ ╲ ╱ + − ╱ ╲ ╱ ╲ + ╱ ╲
─┮┓ ┌┮━ │┞─┧│ ━┵┘ ┗┵─	╲ ╱ + ╲ ╱ ╲ ╱ + − ╱ ╲ ╱ ╲ − ╱ ╲	╲ ╱ − ╲ ╱ ╲ ╱ − + ╱ ╲ ╱ ╲ + ╱ ╲
━┭┐ ┌┮━ │┟─┧│ ─┶┛ ┗┵─	╲ ╱ + ╲ ╱ ╲ ╱ − − ╱ ╲ ╱ ╲ − ╱ ╲	╲ ╱ − ╲ ╱ ╲ ╱ + + ╱ ╲ ╱ ╲ + ╱ ╲
─┮┓ ┏┭─ │┞─┦│ ━┵┘ └┶━	╲ ╱ + ╲ ╱ ╲ ╱ + + ╱ ╲ ╱ ╲ − ╱ ╲	╲ ╱ − ╲ ╱ ╲ ╱ − − ╱ ╲ ╱ ╲ + ╱ ╲
━┭┐ ┌┮━ │┝━┥│ ━┵┘ └┶━	╲ ╱ + ╲ ╱ ╲ ╱ − − ╱ ╲ ╱ ╲ + ╱ ╲	╲ ╱ − ╲ ╱ ╲ ╱ + + ╱ ╲ ╱ ╲ − ╱ ╲

(굵게 표현된 변이 완벽 부합에 속하는 변이다.)

즉, 이는 2차원 이징 모형의 임의의 상태에서, 각 스핀 사이의 변을

• 서로 다른 스핀 사이의 변은 굵게,
• 서로 같은 스핀 사이의 변은 가늘게

칠한 뒤, 각 꼭짓점을 위와 같은 8개의 나비 그래프 가운데 하나로 치환하면, 이징 모형의 각 상태와 피셔 격자의 완벽 부합 사이의 2대 1 대응을 얻는다. (2대 1인 것은 이징 모형의 상태에서 모든 스핀을 뒤집어도 같은 완벽 부합에 대응하기 때문이다.)

예를 들어, (45도 기울여서 그린) 평면 이징 모형의 상태의 일부분이

    ╲ ╱
     +
  ╲ ╱ ╲ ╱
   +   +
╲ ╱ ╲ ╱ ╲ ╱
 −   +   +
╱ ╲ ╱ ╲ ╱ ╲
   +   −
  ╱ ╲ ╱ ╲
     −
    ╱ ╲

와 같은 꼴이라면, 이는 다음과 같은 피셔 격자 완벽 부합에 대응한다.

      ─┰┐ ┌┰─
       ┃┝━┥┃ 
━┭┐ ┌┰─┸┘ └┸─┮┓ ┏┭─
 │┝━┥┃       │┞─┦│
━┵┘ └┸─┮┓ ┌┮━┵┘ └┶━
       │┞─┧│ 
      ━┵┘ ┗┵─

독서 자료

• Kenyon, Richard; Okounkov, Andrei (2005년 3월). “What is … a dimer?” (PDF). 《Notices of the American Mathematical Society》 (영어) 52 (3). 
• Heilmann, Ole J.; Lieb, Elliott H. (1972). “Theory of monomer–dimer systems”. 《Communications in Mathematical Physics》 (영어) 25: 190–232. 
• Cimasoni, David (2014). “The geometry of dimer models”. 《Winter Braids Lecture Notes》 (영어) 1: 2. arXiv:1409.4631. Bibcode:2014arXiv1409.4631C. doi:10.5802/wbln.3. 

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Domino tiling”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.