더 시터르 공간

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일반 상대성 이론미분기하학에서, 더 시터르 공간(de Sitter空間, 영어: de Sitter space)은 로런츠 다양체의 하나다. 양의 우주 상수를 가지는 아인슈타인 방정식진공 해이며, 암흑 에너지밖에 없는 진공을 나타낸다. n차원 더 시터르 공간의 기호는 dSn.

우리가 살고 있는 우주는 현재 대부분(69%) 암흑 에너지로 차 있다 (ΛCDM 모형). 따라서, 우리 우주는 더 시터르 공간으로 근사할 수 있다.

최근에는, 본래 특수 상대성 이론의 골자로서 민코프스키 공간이 이용된 것을, 이 더 시터르 공간을 새로이 이용해서 더 시터르 상대성이라는 형식을 세우는 것이 일각에서 고려되고 있다.

역사[편집]

1917년에 빌럼 더 시터르[1][2]툴리오 레비치비타[3]가 독자적으로 발견하였다.

정의[편집]

n차원 더 시터르 공간n+1차원 민코프스키 공간부분공간으로 정의할 수 있다. n+1차원 민코프스키 공간 \mathbb R^{1,n}의 다음과 같은 직교좌표계를 생각하자.

ds^2 = -dx_0^2 + \sum_{i=1}^n dx_i^2.

더 시터르 공간은 다음 식을 만족하는 쌍곡면으로 표현되는 부분다양체이다.

-x_0^2 + \sum_{i=1}^n x_i^2 =\alpha^2

여기서\alpha는 길이의 차원을 가지는 양의 상수이며, 더 시터르 반지름(영어: de Sitter radius)이라고 한다. 더 시터르 공간의 계량 텐서는 고차원 민코프스키 공간에서 유도되는 계량 텐서(induced metric)이며, 이 계량이 로런츠 계량 부호수를 가지고 있다는 사실을 보일 수 있다. (만약 위의 정의에서 \alpha^2-\alpha^2 으로 대치하면 두 장의 쌍곡면을 얻는다. 이 경우 유도 계량은 양의 정부호이며, 각각의 쌍곡면들은 n차원 쌍곡면 공간을 이룬다.)

성질[편집]

기하학적 성질[편집]

더 시터르 공간은 동차공간

\operatorname{dS}_n=O(1,n)/O(1,n-1)

으로 나타낼 수 있다. 여기서 O(p,q)는 임의의 계량 부호수에 대한 직교군이다.

더 시터르 공간의 등거리변환군은 O(1,n) 로런츠 군이다. 그러므로 계랑은 n(n+1)/2 개의 독립적인 킬링 벡터를 가지며, 최대대칭공간(영어: maximally symmetric space)이다. 모든 최대 대칭 공간은 일정한 곡률을 갖는다. 더 시터르 공간의 리만 곡률 텐서는 다음과 같다.

R_{\rho\sigma\mu\nu} = {1\over \alpha^2}(g_{\rho\mu}g_{\sigma\nu} - g_{\rho\nu}g_{\sigma\mu})

리치 곡률이 계량에 비례하므로, 더 시터르 공간은 아인슈타인 다양체이다.

R_{\mu\nu} = \frac{n-1}{\alpha^2}g_{\mu\nu}

따라서, 더 시터르 공간은 다음과 같은 우주 상수 \Lambda를 갖는, 아인슈타인 방정식의 진공해이다.

\Lambda = \frac{(n-1)(n-2)}{2\alpha^2}.

더 시터르 공간의 스칼라 곡률은 다음과 같다.

R = \frac{n(n-1)}{\alpha^2} = \frac{2n}{n-2}\Lambda.

4차원 더 시터르 공간의 경우 \Lambda=3/\alpha^2, R=4\Lambda=12/\alpha^2이다.

위상수학적 성질[편집]

n차원 더 시터르 공간은 S^{n-1}\times\mathbb R위상동형이다. 따라서 2차원이 아닌 더 시터르 공간은 단일연결공간이다. (2차원 더 시터르 공간은 물론 기본군 \mathbb Z를 가진다.)

펜로즈 그림[편집]

더 시터르 공간의 펜로즈 그림. 좌변은 공간의 북극, 우변은 공간의 남극을 나타낸다. 윗변은 무한 미래, 아랫변은 무한 과거를 나타낸다.

더 시터르 공간의 펜로즈 그림은 정사각형이다. 더 시터르 공간의 경우 위상학적으로 S^{n-1}\times\mathbb R이므로, 정사각형 내부의 각 점은 S^{n-2}에 대응한다. 정사각형의 좌변과 우변은 S^{n-1}의 남극과 북극을 나타내므로, 좌변과 우변에서의 각 점은 실제 하나의 점에 대응한다. 정사각형의 윗변과 아랫변은 더 시터르 공간의 각각 무한한 미래와 과거를 나타내고, 더 시터르 공간의 실재하는 점에 대응하지 않는다.

좌표계[편집]

더 시터르 공간에는 다양한 좌표계들이 존재한다. 그 중 흔히 쓰이는 것들은 다음과 같다.

정적 좌표계[편집]

정적 좌표계(靜的座標系, 영어: static coordinate system)로서 (t, r, \ldots) 을 다음과 같이 놓을 수 있다.

x_0 = \sqrt{\alpha^2-r^2}\sinh(t/\alpha)
x_1 = \sqrt{\alpha^2-r^2}\cosh(t/\alpha)
x_i = r z_i \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad 2\le i\le n.

여기서 z_iRn−1 안에서의 표준 매장으로서의 (n−2)차원 구면을 나타낸다. 이들 좌표를 가지고, 더 시터르 계랑을 다음과 같이 기술할 수 있다.

ds^2 = -\left(1-\frac{r^2}{\alpha^2}\right)dt^2 + \left(1-\frac{r^2}{\alpha^2}\right)^{-1}dr^2 + r^2 d\Omega_{n-2}^2.

여기서 r = \alpha사건 지평선이 존재한다. 이를 우주론적 지평선(宇宙論的地平線, 영어: cosmological horizon)이라고 하며, 지평선 안을 관측 가능한 우주(영어: observable universe)라고 한다.

FLRW 좌표계[편집]

더 시터르 공간은 FLRW 해의 한 종류이며, 공간의 곡률이 +1, 0, 또는 −1인 엽층(영어: foliation)을 줄 수 있다.

n차원 FLRW 계량은

ds^2=-dt^2+a(t)^2d\Sigma^2

이며, 여기서

d\Sigma^2=d\Omega_{n-1}^2 (n−1차원 초구 계량, k=+1인 경우)
d\Sigma^2=dr^2+r^2d\Omega_{n-2}^2 (n−1차원 유클리드 공간 계량, k=0인 경우)
d\Sigma^2=dr^2+(\sinh^2r)d\Omega_{n-2}^2 (n−1차원 쌍곡공간 계량, k=-1인 경우)

이다. 척도인자 a(t)는 다음과 같다.

a(t)=\alpha\cosh(t/\alpha) (k=+1)
a(t)=\exp(t/\alpha) (k=0)
a(t)=\alpha\sinh(t/\alpha) (k=-1)

열역학[편집]

더 시터르 공간은 (반 더 시터르 공간과 달리) 우주론적 지평선(cosmological horizon)을 가진다. 이에 따라, 더 시터르 공간은 블랙홀과 마찬가지로 유한한 온도와 엔트로피를 가지게 된다.

더 시터르 공간에서의 진공 상태는 번치-데이비스 진공(영어: Bunch–Davies vacuum)이라고 불리는 상태이며, 그 온도는

T=\frac{\hbar}{k_B2\pi\alpha}

이다.[4][5][6] 또한, 더 시터르 공간의 지평선의 넓이

A=\operatorname{vol}(S^{n-2})\alpha^{n-2}

는 유한하다. (여기서 \operatorname{vol}(S^{n-2})는 반지름이 1인 n-2차원 초구의 넓이다.) 따라서 블랙홀 열역학과 유사하게 엔트로피

S=\frac{k_Bc^3A}{4\hbar G}
=\frac{k_Bc^3\operatorname{vol}(S^{n-2})\alpha^{n-2}}{4\hbar G}

를 계산할 수 있다.[7][5][6]

참고 문헌[편집]

  1. (영어) de Sitter, W. (1917년). On the relativity of inertia: Remarks concerning Einstein’s latest hypothesis. 《Koninklijke Nederlandsche Akademie van Wetenschappen Proceedings》 19 (2): 1217–1225. Bibcode1917KNAB...19.1217D.
  2. (영어) de Sitter, W. (1918년). On the curvature of space. 《Koninklijke Nederlandsche Akademie van Wetenschappen Proceedings》 20 (1): 229–243. Bibcode1918KNAB...20..229D.
  3. (이탈리아어) Levi-Civita, Tullio (1917년). Realtà fisica di alcuni spazî normali del Bianchi. 《Rendiconti, Reale Accademia Dei Lincei》 26: 519–31.. 번역 (영어) Republication of: The physical reality of some normal spaces of Bianchi. 《General Relativity and Gravitation》 43 (8): 2307–2320. doi:10.1007/s10714-011-1188-4.
  4. (영어) Narnhofer, H., I. Peter, W. Thirring (1996년 6월 30일). How hot is the de Sitter space?. 《International Journal of Modern Physics B》 10 (13–14): 1507–1520. doi:10.1142/S0217979296000611. Bibcode1996IJMPB..10.1507N. ISSN 0217-9792.
  5. (영어) Spradlin, Marcus, Andrew Strominger, Anastasia Volovich (2001년). Les Houches lectures on de Sitter space. arXiv:hep-th/0110007. Bibcode2001hep.th...10007S.
  6. (영어) Hartong, Jelle (2004년 7월). 《On problems in de Sitter spacetime physics: scalar field, black holes and instability》, 석사 학위 논문 (지도 교수 Mees de Roo), 흐로닝언 대학교
  7. (영어) Gibbons, Gary W., Stephen W. Hawking (1977-05-15년). Cosmological event horizons, thermodynamics, and particle creation. 《Physical Review D》 15 (10): 2738–2751. doi:10.1103/PhysRevD.15.2738. Bibcode1977PhRvD..15.2738G. ISSN 1550-7998.

같이 보기[편집]