동차공간

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동차공간(同次空間, 영어: homogeneous space)이란 그 자기동형사상추이적으로 작용하는 공간이다. 여기서 ‘공간’이란 다루는 수학적 구조에 따라 다른데, 위상공간, 미분다양체, 또는 리만 다양체 등이 될 수 있다. 즉, 동차공간에서는 그 대칭의 작용의 궤도가 하나밖에 없다. 이 작용이 추이적일 뿐만 아니라 자유로운 경우를 주동차공간(主同次空間, 영어: principal homogeneous space) 혹은 토서(영어: torsor)라고 한다. 리군론, 대수군론위상군론 등에서 다룬다.

기하학[편집]

에를랑겐 프로그램의 관점에서 보면, 동차공간이란 "모든 점이 평등한 공간"이다. 사실 19세기 중반에 발표된 리만 기하학 이전의 모든 기하학적 공간은 동차공간이었다. 예를 들어 유클리드 공간, 아핀공간, 사영공간 등은 전부 각자의 대칭군에 대해 동차공간이다. 이는 쌍곡공간을 비롯해 일정한 곡률을 갖는 비유클리드 기하학적 공간들도 마찬가지이다.

잉여류 공간으로서의 표현[편집]

위상군 G가 동차공간 M에 추이적으로 작용한다고 하자. 그렇다면 임의의 점 x\in M이 주어졌을 때, 그 안정자군 H=G_x에 대하여 M=G/H임을 보일 수 있다. 즉, 원점이 주어지면 동차공간을 잉여류 공간 G/H로 생각할 수 있다. 그러나 원점의 선택은 유일하지 않으므로, 동차공간은 "원점을 잊은" 잉여류 공간이다.

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이름 기호 자기동형사상군 G 안정자군 H
초구 S^n O(n+1) O(n)
아핀공간 \mathbb R^n 유클리드 군 E(n) O(n)
쌍곡공간 H^n O(1,n) O(n)
더 시터르 공간 dS_n O(1,n) O(1,n−1)
민코프스키 공간 \mathbb R^{1,n-1} 푸앵카레 군 E(1,n−1) 로런츠 군 O(1,n−1)
반 더 시터르 공간 AdS_n O(2,n-1) O(1,n)
복소사영공간 \mathbb CP^n U(n+1) U(n) × U(1)
그라스만 공간 Gr(r,n) O(n) O(r) × O(nr)

함께 보기[편집]