군 대상

위키백과, 우리 모두의 백과사전.
이동: 둘러보기, 검색

범주론에서, 군 대상(群對象, group object)은 특정한 성질을 만족하는 범주에서 과 같은 성질을 가진 대상이다.

정의[편집]

C가 유한 (finite product)이 존재하는 범주라고 하자. C군 대상 (G,m,e,i)는 다음 데이터로 이루어진다.

이는 다음과 같은 성질을 만족하여야 한다.

  • (결합법칙) m(m\times\operatorname{id}_G)=m(\operatorname{id}_G\times m). (여기서 (G\times G)\times G=G\times(G\times G)로 간주한다.)
  • (항등원의 존재) m(\operatorname{id}_G\times e)=\pi_1이고, m(e\times\operatorname{id}_G)=\pi_2이다. 여기서 \pi_1\colon G\times1\to G, \pi_2\colon1\times G\to G는 사영 사상(projection)이다.
  • (역원의 존재) 끝 대상의 정의에 따라 유일한 사상 \epsilon_G\colon G\to1이 존재한다. 또한, \delta_G\colon G\times G\to G가 대각 사상(diagonal morphism)이라고 하자. 그렇다면 m(\operatorname{id}_G\times i)\delta_G=m(i\times\operatorname{id}_G)\delta_G=e\epsilon_G이다.

위와 같은 정의 대신, 군 대상을 다음과 같이 정의할 수 있다. 군 대상 G\in\operatorname{ob}(C)는 임의의 대상 X\in\operatorname{ob}(C)에 대하여 \hom(X,G)을 이뤄, X\mapsto\hom(X,G)C\to\operatorname{Grp}^{\operatorname{op}} 함자를 이루는 대상이다. 여기서 \operatorname{Grp}군 준동형사상범주이다.

[편집]

참고 문헌[편집]