아인슈타인 다양체

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미분기하학에서, 아인슈타인 다양체(영어: Einstein manifold)는 리치 곡률 텐서계량 텐서와 비례하는 리만 다양체다.

정의[편집]

다음 조건을 만족시키는 리만 다양체 또는 유사 리만 다양체 (M,g)아인슈타인 다양체라고 한다.

R_{\mu\nu}=kg_{\mu\nu}

응용[편집]

일반 상대성 이론에서, 아인슈타인 다양체는 우주 상수를 가진 진공에 해당한다. 물질의 에너지-운동량 텐서가 0인 경우, 아인슈타인 방정식은 다음과 같다.

R_{\mu\nu}-\frac12g_{\mu\nu}g^{\rho\sigma}R_{\rho\sigma}+g_{\mu\nu}\Lambda=0

따라서

R_{\mu\nu}=\frac{2\Lambda}{n-2}g_{\mu\nu}

임을 알 수 있다. 여기서 n=\dim M (시공간의 차원)이다. 즉, n>2인 경우, 일반 상대성 이론에서의 진공은 k=2\Lambda/(n-2)인 유사 리만 아인슈타인 다양체를 이룬다.

관련 개념[편집]

켈러 다양체사사키 다양체가 위 조건을 만족시키는 경우, 켈러-아인슈타인 다양체 또는 사사키-아인슈타인 다양체라고 부른다.

[편집]

모든 2차원 리만 다양체는 아인슈타인 다양체다. 이 경우, k가우스 곡률이다.

초구평면, 쌍곡공간 모두 아인슈타인 다양체다. 마찬가지로, 로런츠 계량 부호수에서는 더 시터르 공간민코프스키 공간, 반 더 시터르 공간 모두 아인슈타인 다양체다.

푸비니-스투디 계량을 갖춘 복소 사영 공간은 아인슈타인 다양체다. 모든 사원수 켈러 다양체는 아인슈타인 다양체다. 또한, 칼라비-야우 다양체초켈러 다양체는 (리치 곡률이 0이므로) k=0인 아인슈타인 다양체다.

참고 문헌[편집]