특이 호몰로지

대수적 위상수학에서, 특이 호몰로지(特異homology, 영어: singular homology 싱귤러 호몰로지^[*])는 단체(simplex)를 사용하여 정의하는 호몰로지 이론이다.

정의

특이단체

$n$차원 표준단체(標準單體, standard simplex) $\Delta^n\subset\mathbb R^{n+1}$은 다음과 같다.

$\Delta^n=\left\{(x_0,x_1,\dots,x_n)|0\le x_i\le1,\;\sum_ix_i=1\right\}$.

이는 선분과 삼각형, 사면체를 일반화한 것이다.

$X$가 위상공간이라고 하자. $X$ 위의 $n$차원 특이단체(特異單體, singular complex)는 연속함수 $\sigma_n\colon\Delta^n\to X$를 뜻한다. $X$ 위의 $n$차원 사슬(chain)은 모든 $n$차원 특이단체로 의하여 생성되는 자유 아벨 군의 원소다. 이 아벨 군을 $C_n(X)$이라고 쓰자.

경계 연산자

표준단체 $\Delta^n$의 꼭지점들을 $p_1,\dots,p_n$이라고 하자. 표준단체 $\Delta^n$의 경계는 그 면들로 이루어져 있는데, 이들은 $n+1$개의 꼭지점 가운데 하나씩을 제외하여 나열할 수 있다. 예를 들어

$[p_0,p_2,\dots,p_{k-1},p_{k+1},\dots,p_n]$

의 꼴이다. 이를 편의상

$[p_0,p_1,\dots,p_{k-1},\hat p_k,p_{k+1},\dots,p_n]$

로 쓰자.

$n$차원 특이단체 $\sigma_n\colon\Delta^n\to X$의 경계(境界, boundary) $\partial_n\sigma_n\in C_{n-1}(X)$는 다음과 같다.

$\partial_n\sigma_n=\sum_{k=1}^n(-1)^k\sigma|_{[p_0,\dots,\hat p_k,\dots,p_n]}$.

경계 연산자 $\partial_n$는 특이단체뿐만 아니라 일반적인 사슬에 대해서도 선형으로 자연스럽게 확장할 수 있다. 즉 $\partial_n\colon C_n\to C_{n-1}$이다. 이는 아벨 군의 군 준동형사상을 이룬다. 또한, $\partial_{n-1}\circ\partial_n\colon C_n(X)\to C_{n-2}(X)$는 항상 0이다. 따라서 $(C_\bullet(X),\partial_\bullet)$은 사슬 복합체를 이룬다. 이 사슬 복합체를 이용하여 정의한 호몰로지 군

$H_n(X)=\ker\partial_n/\operatorname{im}\partial_{n+1}$

들을 특이 호몰로지라고 한다.

정수가 아닌 계수를 가진 특이 호몰로지

아벨 군은 환 $\mathbb Z$에 대한 자유 가군이다. 환 $\mathbb Z$를 다른 일반적인 (1을 포함하는) 환 $R$로 대체하여 호몰로지를 정의할 수 있다. 이 경우 $C_\bullet(X,R)$은 자유 $R$-가군이 되고, $H_\bullet(X,R)$은 (일반적으로 자유롭지 않은) $R$-가군이 된다.

특이 코호몰로지

$X$ 위의 공사슬(cochain)은 군 준동형사상 $\phi^n\colon C_n(X)\to \mathbb Z$이다. 공사슬의 집합은 아벨 군을 이루며, $C^n(X)=\hom(C_n,\mathbb Z)$으로 쓴다. 공사슬의 공경계(coboundary) $\delta_n\colon C^n\to C^{n+1}$은 다음과 같다.

$\delta_n(\phi^n)(\sigma_{n+1})=\phi^n(\partial_{n+1}\sigma_{n+1})$.

$(C^\bullet(X),\delta_\bullet)$은 공사슬 복합체를 이룬다. 이 복합체를 이용하여 정의한 코호몰로지 군

$H^n(X)=\ker\delta_n/\operatorname{im}\delta_{n-1}$

들을 특이 코호몰로지(singular cohomology)라고 한다.

예

구

$n$차원 구 $S^n$의 특이 호몰로지 군은 다음과 같다.

$H_0(S^0)=\mathbb Z^2$, $H_k(S^0)=0$ ($k>0$)

$H_0(S^n)=H_n(S^n)=\mathbb Z$, $H_k(S^0)=0$ ($0<k\ne n$)

원환면

$n$차원 원환면 $T^n$의 특이 호몰로지 군은 다음과 같다.

$H_k(T^n)=\mathbb Z^{\binom nk}$.

여기서 $\binom nk$는 이항계수로, $k>n$인 경우 0으로 정의한다.

사영공간

복소 사영공간 $\mathbb CP^n$의 특이 호몰로지 군은 다음과 같다.

$H_k(\mathbb CP^n)=\mathbb Z$ ($0\le p\le 2n$, $p\equiv0\pmod2$)

$H_k(\mathbb CP^n)=0$ ($p>2n$ 또는 $p\equiv1\pmod2$)

참고 문헌

• Hatcher, Allen (2002). 《Algebraic topology》. Cambridge University Press, 108쪽. ISBN 0-521-79540-0
• 조용승 (2010년 9월). 《대수적 위상수학》. 경문사. ISBN 978-89-6105-365-5