특이 호몰로지

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대수적 위상수학에서, 특이 호몰로지(特異homology, 영어: singular homology 싱귤러 호몰로지[*])는 단체(simplex)를 사용하여 정의하는 호몰로지 이론이다.

정의[편집]

특이단체[편집]

n차원 표준단체(標準單體, standard simplex) \Delta^n\subset\mathbb R^{n+1}은 다음과 같다.

\Delta^n=\left\{(x_0,x_1,\dots,x_n)|0\le x_i\le1,\;\sum_ix_i=1\right\}.

이는 선분삼각형, 사면체를 일반화한 것이다.

X위상공간이라고 하자. X 위의 n차원 특이단체(特異單體, singular complex)는 연속함수 \sigma_n\colon\Delta^n\to X를 뜻한다. X 위의 n차원 사슬(chain)은 모든 n차원 특이단체로 의하여 생성되는 자유 아벨 군의 원소다. 이 아벨 군을 C_n(X)이라고 쓰자.

경계 연산자[편집]

표준단체 \Delta^n의 꼭짓점들을 p_1,\dots,p_n이라고 하자. 표준단체 \Delta^n의 경계는 그 면들로 이루어져 있는데, 이들은 n+1개의 꼭짓점 가운데 하나씩을 제외하여 나열할 수 있다. 예를 들어

[p_0,p_2,\dots,p_{k-1},p_{k+1},\dots,p_n]

의 꼴이다. 이를 편의상

[p_0,p_1,\dots,p_{k-1},\hat p_k,p_{k+1},\dots,p_n]

로 쓰자.

n차원 특이단체 \sigma_n\colon\Delta^n\to X경계(境界, boundary) \partial_n\sigma_n\in C_{n-1}(X)는 다음과 같다.

\partial_n\sigma_n=\sum_{k=1}^n(-1)^k\sigma|_{[p_0,\dots,\hat p_k,\dots,p_n]}.

경계 연산자 \partial_n는 특이단체뿐만 아니라 일반적인 사슬에 대해서도 선형으로 자연스럽게 확장할 수 있다. 즉 \partial_n\colon C_n\to C_{n-1}이다. 이는 아벨 군군 준동형사상을 이룬다. 또한, \partial_{n-1}\circ\partial_n\colon C_n(X)\to C_{n-2}(X)는 항상 0이다. 따라서 (C_\bullet(X),\partial_\bullet)사슬 복합체를 이룬다. 이 사슬 복합체를 이용하여 정의한 호몰로지

H_n(X)=\ker\partial_n/\operatorname{im}\partial_{n+1}

들을 특이 호몰로지라고 한다.

정수가 아닌 계수를 가진 특이 호몰로지[편집]

아벨 군 \mathbb Z에 대한 자유 가군이다. 환 \mathbb Z를 다른 일반적인 (1을 포함하는) 환 R로 대체하여 호몰로지를 정의할 수 있다. 이 경우 C_\bullet(X,R)은 자유 R-가군이 되고, H_\bullet(X,R)은 (일반적으로 자유롭지 않은) R-가군이 된다.

특이 코호몰로지[편집]

X 위의 공사슬(cochain)은 군 준동형사상 \phi^n\colon C_n(X)\to \mathbb Z이다. 공사슬의 집합은 아벨 군을 이루며, C^n(X)=\hom(C_n,\mathbb Z)으로 쓴다. 공사슬의 공경계(coboundary) \delta_n\colon C^n\to C^{n+1}은 다음과 같다.

\delta_n(\phi^n)(\sigma_{n+1})=\phi^n(\partial_{n+1}\sigma_{n+1}).

(C^\bullet(X),\delta_\bullet)공사슬 복합체를 이룬다. 이 복합체를 이용하여 정의한 코호몰로지

H^n(X)=\ker\delta_n/\operatorname{im}\delta_{n-1}

들을 특이 코호몰로지(singular cohomology)라고 한다.

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n차원 S^n의 특이 호몰로지 군은 다음과 같다.

H_0(S^0)=\mathbb Z^2, H_k(S^0)=0 (k>0)
H_0(S^n)=H_n(S^n)=\mathbb Z, H_k(S^0)=0 (0<k\ne n)

원환면[편집]

n차원 원환면 T^n의 특이 호몰로지 군은 다음과 같다.

H_k(T^n)=\mathbb Z^{\binom nk}.

여기서 \binom nk이항계수로, k>n인 경우 0으로 정의한다.

사영공간[편집]

복소 사영공간 \mathbb CP^n의 특이 호몰로지 군은 다음과 같다.

H_k(\mathbb CP^n)=\mathbb Z (0\le p\le 2n, p\equiv0\pmod2)
H_k(\mathbb CP^n)=0 (p>2n 또는 p\equiv1\pmod2)

참고 문헌[편집]