구면좌표계

구면좌표계 (球面座標係, spherical coordinate system)는 3차원 공간 상의 점들을 나타내는 좌표계의 하나로, 보통 $(r, \theta, \phi)$로 나타낸다. 원점에서의 거리 $r$은 0부터 $\color{Blue} \infty$까지, 양의 방향의 z축과 이루는 각도 $\theta$는 0부터 $\pi$까지, z축을 축으로 양의 방향의 x축과 이루는 각 $\phi$는 0부터 $2\pi$ 까지의 값을 갖는다. $\theta$는 위도로, $\phi$는 경도로 표현되는 경우도 있다.

이 세 수치를 보고, 다음과 같은 방법으로 공간의 점을 찾을 수 있다.: 원점 $(0, 0, 0)$에서 $r$만큼 z축을 따라 간다. 그 지점에서 xz 평면 안에 있으면서 z축에서부터 $\theta$만큼 회전한다. 이 xz 평면 전체를 z축을 축으로 $\phi$만큼 반 시계방향(+x축에서 +y축 방향으로)으로 돌린다.

구면좌표계라는 이름은 이 좌표계에서 '$r = 1$'이 단위구(單位球)를 표현하기 때문에 붙여졌다.

구면좌표계와 원통좌표계는 평면 극좌표계를 공간으로 확장한 것이며, 구면좌표계는 구대칭이 나타나는 문제에서 유용하게 쓰인다. 예를 들어, 수소원자와 같이 구대칭이 있는 경우에 슈뢰딩거 방정식을 풀 때 구면좌표계를 사용한다.

아래 변환식을 통해 직교좌표계와 변환할 수 있지만, 변환식에서 사용하는 역삼각함수는 일의적이지 않기 때문에, 공간상의 각 점마다 하나의 좌표만 대응하는 직교좌표계와는 달리, 구면좌표계는 한 점을 나타내는 표현이 여러가지일 수 있다. 예를 들어, (1, 0°, 0°), (1, 0°, 45°), 과 (-1, 180°, 270°) 는 모두 같은 점을 나타낸다.

표시 문자

세 좌표의 표시를 위한 여러가지 다른 약속이 존재한다. 국제 표준 기구의 지침(ISO 31-11)에 따라 물리학에서는 (r, θ, φ)의 문자를 사용하여 원점에서의 거리, 천정과 이루는 각도(고도 또는 앙각), 방위각 등을 표시하고, (미국의) 수학에서는 고도와 방위각이 바뀌어 'φ'와 'θ'로 표시된다.

정의

좌표 $(r, \theta, \phi)$는 다음과 같이 정의 된다. 주어진 점을 P라 하자.

• $\color{Blue} r$ : 원점으로부터 P까지의 거리.
• $\color{Blue} \theta$ : z축의 양의 방향으로부터 원점과 P가 이루는 직선까지의 각
• $\color{Blue} \phi$ : x축의 양의 방향으로부터 원점과 P가 이루는 직선을 xy평면에 투영시킨 직선까지의 각.

구면좌표계의 경우는 좌표값에 따라 한 점을 여러 좌표가 가리키는 경우가 있으므로, 각 변수의 범위를 보통 아래와 같이 제한한다.

$r \ge 0$

$0 \le \theta \le \pi$

$0 \le \phi \le 2\pi$

좌표 변환

다른 3차원 좌표계로 변환하는 공식은 다음과 같다.

직교좌표계

• 직교좌표계에서 구면좌표계로 변환시:

$\begin{align} r &= \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \\ \theta &= \arccos\frac{z}{r} \\ \phi &= \arctan\frac{y}{x} \end{align}$

• 구면좌표계에서 직교좌표계로 변환시:

$\begin{align} x &= r \sin\theta \cos\phi \\ y &= r \sin\theta \sin\phi \\ z &= r \cos\theta \end{align}$

지리좌표계

${\delta}=90^\circ - \theta$, or

${\theta}=90^\circ - \delta$,

원통좌표계

• 원통좌표계에서 구면좌표계로 변환시:

$r=\sqrt{\rho^2+z^2}$

${\theta}=\operatorname{arctan}(\rho,z)$

${\varphi}=\varphi \quad$

• 구면좌표계에서 원통좌표계로 변환시:

$\rho = r \sin \theta \,$

$\varphi = \varphi \,$

$z = r \cos \theta \,$

단위벡터

각 단위벡터의 직교좌표에서의 표현은 다음과 같다.

$\hat{\mathbf{r}} = \frac{\frac{d\mathbf{r}}{dr}}{\left|\frac{d\mathbf{r}}{dr}\right|} = \begin{bmatrix} \sin \theta \cos \phi \\ \sin \theta \sin \phi \\ \cos \theta \end{bmatrix}$

$\hat{\mathbf{\theta}} = \frac{\frac{d\mathbf{r}}{d\theta}}{\left|\frac{d\mathbf{r}}{d\theta}\right|} = \begin{bmatrix} \cos \theta \cos \phi \\ \cos \theta \sin \phi \\ -\sin \theta \end{bmatrix}$

$\hat{\mathbf{\phi}} = \frac{\frac{d\mathbf{r}}{d\phi}}{\left|\frac{d\mathbf{r}}{d\phi}\right|} = \begin{bmatrix} -\sin\phi \\ \cos\phi \\ 0 \end{bmatrix}$

단위벡터의 미분

$\frac{\partial \hat{r} }{\partial r} = 0$

$\frac{\partial \hat{\theta} }{\partial r} = 0$

$\frac{\partial \hat{\phi} }{\partial r} = 0$

$\frac{\partial \hat{r} }{\partial \theta} = \hat{\theta}$

$\frac{\partial \hat{\theta} }{\partial \theta} = -\hat{r}$

$\frac{\partial \hat{\phi} }{\partial \theta} = 0$

$\frac{\partial \hat{r} }{\partial \phi} = \sin \theta \hat{\phi}$

$\frac{\partial \hat{\theta} }{\partial \phi} = \cos \theta \hat{\phi}$

$\frac{\partial \hat{\phi} }{\partial \phi} = -\cos \theta \hat{\theta} + \sin \theta \hat{\phi}$

유용한 공식들

면적 요소

${d \bold{a}} = r^2 \sin \theta d \theta d\phi$

부피 요소

$\, {d V} = r^2 \sin \theta d r d \theta d\phi$

기울기

$\nabla = \hat{r} \frac{\partial}{\partial r} + \hat{\theta} \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial \theta} + \hat{\phi} \frac{1}{r \sin \theta}\frac{\partial}{\partial \phi}$

발산

$\nabla \cdot \bold{F} = \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r} r^2 F_r + \frac{1}{r \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \sin \theta F_\theta + \frac{1}{r \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \phi} F_\phi$

회전

$\nabla \times F = \frac{1}{r^2 \sin \theta} \begin{vmatrix} \hat{r} & r\hat{\theta} & r \sin \theta \hat{\phi} \\ \\ {\frac{\partial}{\partial r}} & {\frac{\partial}{\partial \theta}} & {\frac{\partial}{\partial \phi}} \\ \\ F_r & rF_\theta & r\sin\theta F_\phi \end{vmatrix}$

라플라시안

$\nabla^2 = \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r} r^2 \frac{\partial}{\partial r} + \frac{1}{r^2 \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \sin \theta\frac{\partial}{\partial \theta} + \frac{1}{r^2 \sin^2 \theta} \frac{\partial^2}{\partial \phi^2}$

같이 보기

• 직교 좌표계
• 원통 좌표계
• 적도 좌표계
• 초구면 좌표계