인과 구조

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일반 상대성 이론에서, 인과 구조(因果構造, 영어: causal structure)는 시공간의 점들 사이에, 상대성 이론에 따라 어떤 점이 다른 어떤 점에 물리적으로 영향을 줄 수 있는지에 대한 관계를 나타낸다.

정의[편집]

로런츠 다양체 (M,g)가 주어졌다고 하고, 계량 부호수를 −+++로 잡자.

벡터의 분류[편집]

어떤 점 x\in M에서의 벡터 v\in T_xM는 다음과 같이 분류된다.

  • 만약 g(v,v)<0이라면 v시간꼴(영어: timelike)이라고 한다.
  • 만약 g(v,v)=0이라면 v영벡터(영어: null vector)라고 한다.
  • 만약 g(v,v)>0이라면 v공간꼴(영어: spacelike)이라고 한다.

시간꼴/영/공간꼴 벡터장은 모든 점에서 시간꼴/영벡터/공간꼴인 벡터장이다. 인과 벡터장(영어: causal vector field)은 모든 점에서 시간꼴이거나 영벡터인 벡터장이다.

만약 어떤 곡선 \gamma(t)의 접벡터 d\gamma/dt가 항상 시간꼴이라면, 이를 시간꼴 곡선이라고 한다. 마찬가지로 영벡터 곡선이나 공간꼴 곡선도 정의할 수 있다. 인과적 곡선(영어: causal curve)은 모든 점에서 접벡터가 영벡터이거나 시간꼴인 곡선이다.

시간 방향[편집]

x\in M에서, 시간꼴 벡터 v\in T_xM들의 집합에 다음과 같은 동치 관계를 주자.

u\sim v\Leftrightarrow g(u,v)<0

이에 따라, x에서의 모든 시간꼴 벡터들은 두 동치류로 분류할 수 있다. x에서의 시간 방향은 이 둘 가운데 하나를 선택한 것이며, 선택된 방향을 미래 방향, 선택되지 않은 방향을 과거 방향이라고 한다.

만약 로런츠 다양체 M 전체에 시간 방향을 연속적으로 줄 수 있다면 M시간 가향(영어: time-orientable)하다고 한다.

미래 방향 시간꼴 벡터장(영어: future-oriented timelike vector field)은 모든 점에서 미래 방향 벡터 값을 갖는 시간꼴 벡터장이다. 마찬가지로, 과거 방향 시간꼴 벡터장(영어: past-oriented timelike vector field)은 모든 점에서 과거 방향 벡터 값을 갖는 시간꼴 벡터장이다.

인과 관계[편집]

두 점 x,y\in M 사이에 다음과 같은 관계를 정의할 수 있다.

  • 만약 x에서 y로 가는 미래 방향 시간꼴 곡선이 존재한다면 xy보다 시간 순으로 선행한다(영어: chronologically precedes)고 하고, x\ll y라고 쓴다.
  • 만약 x에서 y로 가는 미래 방향 인과 곡선이 존재한다면 xy보다 인과적으로 선행한다(영어: causally precedes)고 하고, x\prec y라고 쓴다.

마찬가지로, 그 반대 개념인 시간 순 후행 (x\gg y) 및 인과적 후행(x\succ y)도 정의할 수 있다.

이들은 추이법칙을 만족시킨다. 즉

x \ll y,y\ll z\implies x\ll z
x\prec y,y\prec z\implies x\prec z

또한, 인과적 선행은 시간 순 선행보다 더 약한 개념이다.

x\ll y\implies x\prec y
x\ll y,y\prec z\implies x\ll z
x\prec y,y\ll z\implies x\ll z

시간순/인과적 선행을 사용하여, 다음과 같은 미래 및 과거 개념을 정의할 수 있다.

  • x시간 순 미래 I^+(x)x보다 시간 순으로 후행하는 점들의 집합이다.
I^+(x)=\{y\in M\colon x\ll y\}
  • x시간 순 과거 I^-(x)x보다 시간 순으로 선행하는 점들의 집합이다.
I^-(x)=\{y\in M\colon x\gg y\}
  • x인과적 미래 J^+(x)x보다 인과적으로 후행하는 점들의 집합이다.
J^+(x)=\{y\in M\colon x\prec y\}
  • x인과적 과거 J^-(x)x보다 인과적으로 선행하는 점들의 집합이다.
J^-(x)=\{y\in M\colon x\succ y\}

참고 문헌[편집]

  • (영어) Gibbons, Gary W., S. N. Solodukhin (2007년 6월). The Geometry of Small Causal Diamonds. 《Physics Letters B》 649 (4): 317–324. arXiv:hep-th/0703098. doi:10.1016/j.physletb.2007.03.068. Bibcode2007PhLB..649..317G.
  • (영어) Hawking, Stephen, A.R. King, P.J. McCarthy (1976년). A new topology for curved space–time which incorporates the causal, differential, and conformal structures. 《J. Math. Phys.》 17 (2): 174-181.