거리 공간

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수학에서, 거리 공간(距離空間, 영어: metric space)은 두 점 사이의 거리가 정의된 공간이다. 거리의 정의에 따라 표준적인 위상을 갖는다.

정의[편집]

집합 X 위의 거리 함수(距離函數, 영어: metric)는 다음 조건을 만족시키는 함수

d: X \times X \to[0,\infty)

이다.

  • (구분 불가능한 점의 동일성) 임의의 x,y\in X에 대하여, d(x,y) = 0 \iff x = y
  • (대칭성) 임의의 x,y\in X에 대하여, d(x,y) = d(y,x)
  • (삼각 부등식) 임의의 x,y,z\in X에 대하여, d(x,y) + d(y,z) \ge d(x,z) 

마지막 두 공리는 다음과 같은 하나의 공리로 대체시킬 수 있다.

  • (삼각 부등식) d(z,y) + d(y,x) \ge d(x,z)

여기서 y=x로 잡으면 d(y,x)=d(x,y)가 되어, 대칭 공리를 얻는다.

거리 공간 (X,d)은 거리 함수가 주어진 집합이다.

거리 공간의 특별한 집합[편집]

거리 공간 X에서, 점 x\in X를 중심으로 하는, 반지름이 r\in\mathbb R^+열린 공 B_r(x)는 다음과 같다.

B_r(x)=\{y\in X\colon d(x,y)<r\}

x\in X를 중심으로 하는, 반지름이 r\in\mathbb R^+닫힌 공 \bar B_r(x)는 다음과 같다.

\bar B_r(x)=\{y\in X\colon d(x,y)\le r\}

거리 공간 X유계 집합 S\subset X는 다음 조건을 만족시키는 부분 집합이다.

  • \sup\{d(x,s)\colon s\in S\}<\infty인 점 x\in X가 존재한다.

거리 위상[편집]

거리 공간 (X,d)거리 위상(영어: metric topology)은 열린 공들을 기저로 하는 위상이다. 즉, 거리 위상에서의 열린 집합은 다음 조건을 만족시키는 부분집합 U\subset X이다.

모든 x\in U에 대하여, B(x,r_x)\subset Ur_x>0가 존재한다.

이에 따라 모든 거리 공간은 표준적으로 위상 공간을 이룬다.

완비 거리 공간[편집]

모든 코시 수열이 극한을 갖는 거리 공간을 완비 거리 공간이라고 한다.

성질[편집]

거리 공간 (X,d)의 임의의 부분 집합 Y\subseteq X에 대하여, (Y,d|_{Y\times Y})는 거리 공간을 이룬다.

위상수학적 성질[편집]

모든 거리 공간은 다음 성질들을 만족시킨다.

거리 공간 (X,d)에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.

[편집]

  • 실수 \mathbb{R}에서, 거리가 절댓값을 이용하여, d(x,y) = |x-y|로 정의되었을 때, (\mathbb{R}, d)는 완비 거리 공간이다.
  • 유리수의 집합 \mathbb Q\subset\mathbb R은 실수 거리 공간의 부분 공간으로서 거리 공간을 이룬다. 그러나 이는 완비 거리 공간이 아니다.
  • 유클리드 공간에서, \mathbb{R}^n에서, 거리를 d(x,y) = \sqrt{ \sum_{i=1}^n (x_i - y_i)^2 }로 정의하면, (\mathbb{R}^n, d)는 거리 공간이다. 이렇게 정의된 거리를 유클리드 거리, 이 공간을 n차원 유클리드 공간이라 하며, 보통 자연과학에서 말하는 거리는 이 정의를 따른다. 이는 완비 거리 공간을 이룬다.
  • \mathbb{R}^n에서 d_0(x - y) = \max_{1 \le i \le n}{|x_i - y_i|}을 거리로 정의하면, (\mathbb{R}^n, d_0)는 거리공간이다. 이처럼 같은 집합에 대하여 정의가 가능한 거리는 유일하지 않다. 그러나 두 가지 거리 함수는 같은 위상을 정의한다.

노름 공간 (V,\Vert\cdot\Vert)에 대하여, 거리 함수를

d(x,y)=\|x-y\|

로 정의한다면, (V,d)는 거리 공간이다. 마찬가지로, 노름 공간 (V,\Vert\cdot\Vert)에 대하여 거리 함수를

d_{\text{post}}(x,y)=\|x\|+\|y\|

로 정의한다면, (V,d_{\text{post}})는 거리 공간이다. 이 거리 함수를 우체국 거리(영어: post-office metric)라고 한다.

임의의 연결 리만 다양체 (M,g)에 대하여, 거리 함수를

d(x,y)=\inf_{\gamma\in C^1([0,1],M)}\int_0^1\sqrt{g^{-1}(\gamma'(s),\gamma'(s))}\,ds

로 정의한다면, (M,d)는 거리 공간이다.

임의의 집합 X 및 양의 실수 r에 대하여,

d(x,y)=\begin{cases}0&x=y\\r&x\ne y\end{cases}

초거리 함수를 이룬다. 이를 이산 거리 함수라고 한다.

임의의 연결 그래프 G에 대하여, 두 꼭짓점 사이의 거리를 이 두 점을 잇는 경로들의 길이의 최솟값으로 정의한다면, 이는 꼭짓점들의 집합 위의 거리 함수를 이룬다.

참고 문헌[편집]

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]