거리공간

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수학에서, 거리공간(距離空間, 영어: metric space)은 두 점 사이의 거리가 정의된 공간이다. 거리의 정의에 따라 표준적인 위상을 지닌다.

정의[편집]

집합 X의 임의의 원소 x, y, z에 대해 함수

d: X \times X \to[0,\infty)

가 다음 조건들을 만족시킬 때, dX 위의 거리 함수(距離函數, 영어: metric)라고 한다.

마지막 두 공리는 다음과 같은 하나의 공리로 대체시킬 수 있다.

  • (삼각부등식) d(z,y) + d(y,x) \ge d(x,z)

여기서 y=x로 잡으면 d(y,x)=d(x,y)가 되어, 대칭 공리를 얻는다.

거리공간 (X,d)은 거리 함수가 주어진 집합이다.

거리 위상[편집]

거리공간 (X,d)에는 거리 함수로 정의되는 표준적인 위상이 있으며, 이에 따라 모든 거리공간은 위상공간이 되며, 이 위상을 거리 위상(영어: metric topology)라고 한다.

거리 위상의 정의는 다음과 같다. 거리공간 (X,d)에서, 점 x_0\in X를 중심으로 하고, 반지름이 r\in\mathbb R열린 공 B(x_0,r)은 다음과 같다.

B(x_0,r)=\{x\in X\colon d(x,x_0)<r\}

거리공간 (X,d)거리 위상은 열린 공들을 기저로 하는 위상이다. 즉, 거리 위상에서의 열린 집합은 다음 조건을 만족시키는 부분집합 U\subset X이다.

모든 x\in U에 대하여, B(x,r_x)\subset Ur_x>0가 존재한다.

완비 거리공간[편집]

어떤 거리공간 안에서의 모든 코시 수열이 그 거리공간 내의 원소로 수렴하는 경우, 그 거리공간은 완비적이라고 표현한다.

[편집]

  • 실수 \mathbb{R}에서, 거리가 절댓값을 이용하여, d(x,y) = |x-y|로 정의되었을 때, (\mathbb{R}, d)는 거리공간이다.
  • \mathbb{R}^n에서, 거리를 d(x,y) = \sqrt{ \sum_{i=1}^n (x_i - y_i)^2 }로 정의하면, (\mathbb{R}^n, d)는 거리공간이다. 이렇게 정의된 거리를 유클리드 거리, 이 공간을 n차원 유클리드 공간이라 하며, 보통 자연과학에서 말하는 거리는 이 정의를 따른다.
  • \mathbb{R}^n에서 d_0(x - y) = \max_{1 \le i \le n}{|x_i - y_i|}을 거리로 정의하면, (\mathbb{R}^n, d_0)는 거리공간이다. 이처럼 같은 집합에 대하여 정의가 가능한 거리는 유일하지 않다. 그러나 위상적으로 보면 위 예의 두가지 거리는 동일하다.
  • 임의의 노름벡터공간d(x,y)=\|x-y\| 와 같이 거리를 정의하면, (\mathbb{R}^n, d)는 거리공간이 된다.

성질[편집]

주어진 거리공간 X에 대해 다음과 같은 개념들을 정의한다. 아래에서 언급되는 점들과 집합들은 모두 X의 원소와 부분집합이다.

  • p근방N_{r}(p)로 표기되고, 다음을 만족하는 모든 점 q들의 집합으로 정의된다.
d(p,q)<r.

여기서 rN_{r}(p)반경이라 불린다.

  • 집합 E에 대해 만약 p의 모든 근방이 다음을 만족하는 어떠한 점 q를 포함하면 pE극한점(limit point)이라 부른다.
q\ne p,\quad q \in E
  • 만약 점 pE에 속하지만 E극한점이 아니라면 p고립점(isolated point)이라 불린다.
  • 만약 E의 모든 극한점들이 E에 포함되면 E닫혀있다(closed)고 말한다.
  • 집합 E의 점 p에 대해 N \subseteq E를 만족하는 p의 근방 N이 존재하면 pE내점(interior point)이라 부른다.
  • 만약 E에 속하는 모든 점들이 E내점 이면 E열려있다(open)고 말한다.
  • E^{c}로 표기되는 E여공간p \notin E를 만족하는 X의 모든 점들로 이루어진 집합이다.
  • 집합 E가 닫혀있고 E의 모든 점들이 E극한점이면 E완전하다(perfect)고 말한다.
  • 집합 E에 속하는 모든 점 p에 대해 d(p,q)<M을 만족하는 실수 M과 점 q \in X가 존재하면 E유계(bounded)라고 말한다.
  • 만약 X에 속한 모든 점들이 E극한점이거나 혹은 E에 속하는 점이면 EX에서 조밀하다고 말한다.

같이 보기[편집]

바깥 고리[편집]