거리공간

수학에서, 거리 공간(metric space)은 원소들 사이의 거리가 정의된 집합을 뜻한다.

[편집] 정의

집합 $X$ 의 임의의 원소 $x, y, z$ 에 대해 함수 $d: X \times X \rightarrow \mathbb{R}$ 이 다음 조건을 만족할 때 함수 $d (x, y)$ 를 $x$ 와 $y$ 사이의 거리, 혹은 계량(metric)이라 한다.

위와 같이 거리 $d$ 가 정의된 집합 $X$ 를 거리공간(metric space)라 하고, $(X, d)$ 로 나타내며, 또는 간단히 거리공간 $X$ 로 쓴다.

실수 $\mathbb{R}$ 에서, 거리가 절대치를 이용해여, $d (x, y) = | x - y |$ 로 정의되었을 때, $(\mathbb{R}, d)$ 는 거리공간이다.
$\mathbb{R}^n$ 에서, 거리를 $d(x,y) = \sqrt{ \sum_{i=1}^n (x_i - y_i)^2 }$ 로 정의하면, $(\mathbb{R}^n, d)$ 는 거리공간이다. 이렇게 정의된 거리를 유클리드 거리, 이 공간을 n차원 유클리드 공간이라 하며, 보통 자연과학에서 말하는 거리는 이 정의를 따른다.
$\mathbb{R}^n$ 에서 $d_0(x - y) = \max_{1 \le i \le n}{|x_i - y_i|}$ 을 거리로 정의하면, $(\mathbb{R}^n, d_0)$ 는 거리공간이다. 이처럼 같은 집합에 대하여 정의가 가능한 거리는 유일하지 않다. 그러나 위상적으로 보면 위 예의 두가지 거리는 동일하다.
임의의 노음벡터공간은 $d(x,y):=\|x-y\|$ 와 같이 거리를 정의하면, $(\mathbb{R}^n, d)$ 는 거리공간이 된다.