거리공간

거리공간은 원소들 사이의 거리가 정의된 집합을 뜻한다.

정의

집합 $X$의 임의의 원소 $x, y, z$에 대해 함수 $d: X \times X \rightarrow \mathbb{R}$이 다음 조건을 만족할 때 함수 $d(x,y)$를 $x$와 $y$사이의 거리, 혹은 계량이라 한다.

• $d(x,y) \ge 0$ (음이 아님)
• $d(x,y) = 0 \iff x = y$ (구분불가능한 것들의 동일성)
• $d(x,y) = d(y,x) \$ (대칭성)
• $d(x,y) + d(y,z) \ge d(x,z)$　(삼각부등식)

저자에 따라서는 위의 정의와 동치이지만 두 가지 조건만을 사용하는 다음 정의를 사용하기도 한다.

• $d(x,y) = 0 \iff x = y$ (구분불가능한 것들의 동일성)
• $d(z,y) + d(y,x) \ge d(x,z)$　(삼각부등식)

위와 같이 거리 $d$가 정의된 집합 $X$를 거리공간이라고 정의하고, $(X,d)$로 나타내며, 또는 간단히 거리공간 $X$로 표기한다.

거리공간의 예

• 실수 $\mathbb{R}$에서, 거리가 절대값을 이용하여, $d(x,y) = |x-y|$로 정의되었을 때, $(\mathbb{R}, d)$는 거리공간이다.
• $\mathbb{R}^n$에서, 거리를 $d(x,y) = \sqrt{ \sum_{i=1}^n (x_i - y_i)^2 }$로 정의하면, $(\mathbb{R}^n, d)$는 거리공간이다. 이렇게 정의된 거리를 유클리드 거리, 이 공간을 n차원 유클리드 공간이라 하며, 보통 자연과학에서 말하는 거리는 이 정의를 따른다.
• $\mathbb{R}^n$에서 $d_0(x - y) = \max_{1 \le i \le n}{|x_i - y_i|}$을 거리로 정의하면, $(\mathbb{R}^n, d_0)$는 거리공간이다. 이처럼 같은 집합에 대하여 정의가 가능한 거리는 유일하지 않다. 그러나 위상적으로 보면 위 예의 두가지 거리는 동일하다.
• 임의의 노름벡터공간은 $d(x,y)=\|x-y\|$ 와 같이 거리를 정의하면, $(\mathbb{R}^n, d)$는 거리공간이 된다.

완비거리공간

어떤 거리공간 안에서의 모든 코시 수열이 그 거리공간 내의 원소로 수렴하는 경우, 그 거리공간은 완비적이라고 표현한다.

• 유클리드 공간은 완비적이다.
• 유리수 집합과 거리함수 $d(x,y) = |x-y|$로 정의된 거리공간은 완비적이지 않다.

관련 항목

• 위상공간