코시 열

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해석학에서, 코시 열(Cauchy列, 영어: Cauchy sequence)은 점들 사이의 거리가 서로 점점 가까워지는 점렬이다. 즉, 코시 열에서는 충분한 수의 처음 유한 개의 점들을 제외하면, 남은 점들 사이의 거리가 임의로 작아진다. 실수체 또는 유리수체의 경우에는 코시 수열(Cauchy 數列)이라고 한다.

정의[편집]

거리 공간 X 위의 점렬 {p_n}이 있다고 하자. 이 열이 코시 열이라 함은 임의의 양의 실수\epsilon>0에 대하여 정수 N이 존재하여, N보다 같거나 큰 두 정수 n, m에 대하여 d\left(p_n,p_m\right)<\epsilon을 만족하는 것이다.

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유리수 전체의 집합 \mathbb Q실수 전체의 집합 \mathbb R절댓값으로 정의되는 일반적인 거리 d 로 정의된 거리 공간 (\mathbb Q,d), (\mathbb R,d)가 있을 때, 수열 \{1/n\}_{n \in \mathbf{N}}은 코시 수열이다. \mathbb R, \mathbb Q 모두에서 수렴하며, 수렴하는 값은 0이다.

x_n =\lfloor n\sqrt{2}\rfloor/n 로 정의된 수열 \{x_n\}_{n \in \mathbb N}은 코시 수열이다. \mathbb R에서는 \sqrt 2로 수렴하지만, \sqrt 2는 유리수가 아니므로 \mathbb Q에서는 수렴하지 않는다.

역사[편집]

오귀스탱 루이 코시가 도입하였다.

같이 보기[편집]

바깥 고리[편집]