코시 수열

코시 수열은 수학에서 오귀스탱 코시의 이름을 따 만들어진 개념으로, 대략적으로는 수열의 항들이 서로 점점 가까워지는 수열을 말한다. 약간 더 정확하게 말하면, 코시 수열은 초반의 충분히 많은 유한 개의 항을 제외하는 방법으로 남은 항들 사이의 최대 거리를 얼마든지 작게 만들 수 있는 수열이다. 수학적으로 엄밀한 정의는 다음과 같다.

정의

거리공간 $X$에서 정의된 수열 ${p_n}$이 있다고 하자. 이 수열이 코시 수열이라 함은 임의의 $\epsilon>0$에 대하여 정수 $N$이 존재하여서 $N$보다 같거나 큰 두 정수 $n, m$에 대하여 $d\left(p_n,p_m\right)<\epsilon$을 만족하는 것이다.

예

유리수 전체의 집합 Q와 실수 전체의 집합 R에 절대값으로 정의되는 일반적인 거리 d 로 정의된 거리공간 (Q, d), (R, d)가 있을 때, 수열 $\left\{\frac 1 n\right\}_{n \in \mathbf{N}}$은 코시수열이다. R, Q 모두에서 수렴하며, 수렴하는 값은 0이다.

가우스 기호 [·] 를 사용하여, $x_n = \frac{[ n \sqrt{2} ]}{n}$ 로 정의된 수열 $\{x_n\}_{n \in \mathbf{N}}$ 은 코시수열이다. R에서는 $\sqrt 2$로 수렴하지만, $\sqrt 2$는 유리수가 아니므로 Q에서는 수렴하지 않는다.