하이네-보렐 정리

하이네-보렐 정리(Heine-Borel theorem)는 유클리드 공간에서 어떤 집합이 닫혀 있고 유계인 것은 그 집합이 컴팩트하다는 것과 동치라는 정리이다.

이 정리는 유클리드 공간이 아닌 일반적인 거리공간에서는 다음과 같이 일반화할 수 있다. 거리공간에서 어떤 집합이 완비적이고 완전 유계인 것은 컴팩트하다는 것과 동치이다. 일반적으로, 거리공간에서 어떤 집합이 컴팩트 집합이라면 닫힌 유계 집합이지만 그 역은 성립하지 않는다. 이 반례로 $\mathbb{R}$에 이산거리함수를 준 경우를 생각할 수 있는데, 이때 [0, 1]은 닫힌 유계 집합이지만 컴팩트 집합은 아니다.

함께 읽기

• 볼차노-바이어슈트라스 정리