완전 유계 공간

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해석학에서, 완전 유계 공간(完全有界空間, 영어: totally bounded space) 또는 프리콤팩트 공간(영어: precompact space)은 유계성에 관한 특정한 일반화된 성질을 갖는 거리 공간이다.

정의[편집]

거리 공간 (X,d)에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 거리 공간을 완전 유계 공간이라고 한다.[1]:275

  • 임의의 양의 실수 \epsilon>0에 대하여, X=\bigcup_{y\in Y_\epsilon}B_\epsilon(y)\}유한 집합 Y_\epsilon이 존재한다. 여기서 B_r(x)는 반지름이 r이고 중심이 x인 열린 공이다.
  • X의 모든 점열코시 부분 점열을 갖는다.

성질[편집]

임의의 거리 공간 (X, d)에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.[1]:276

X가 위상 공간, (Y, d)가 거리 공간이라 하자. 함수 공간 C(X, Y)의 부분공간 F가 d에 상응하는 균등 거리함수(uniform metric)에 대해 완전 유계 공간이라면, F는 d에 대해 동등연속이다.[1]:277

참고 문헌[편집]

  1. James R. Munkres (2000), Topology, Prentice Hall