볼차노-바이어슈트라스 정리

볼차노-바이어슈트라스 정리(Bolzano-Weierstrass theorem, -定理)는 해석학과 위상수학의 정리로, 보헤미아의 베르나르트 볼차노와 독일의 카를 바이어슈트라스의 이름이 붙어 있다.

공식화

볼차노-바이어슈트라스 정리는 초등적인 해석학에서 보통 다음과 같이 취급한다.

• a. 유계인 실수 수열은 수렴하는 부분수열을 갖는다.

그러나 다음과 같이 보다 일반적인 형식을 사용하는 경우도 있다.

• b. 임의의 n차원 유클리드 공간에서 유계인 무한집합은 Rⁿ에서 적어도 하나의 극한점을 갖는다.

일반적인 위상공간에서 그 공간 내의 수열이 수렴하는 부분수열을 갖는 공간을 점렬 컴팩트 공간, 그 공간 내의 임의 무한집합이 적어도 하나의 극한점을 갖는 공간을 극한점 컴팩트 공간이라 하는데, T1 공간에서 이 두 조건은 동치이고 유클리드 공간을 어떤 유계구간으로 제한한 공간 역시 T1 공간이므로 이 두 조건은 동치가 된다.

증명 a

모든 실수열은 단조인 부분수열을 가지고(단조부분수열 정리), 유계인 단조수열은 수렴하므로(단조수렴정리), 유계인 실수열은 수렴하는 부분수열을 갖는다.

증명 b

유계인 무한집합을 A라 놓자. 만약 A의 도집합 A'가 공집합이라면, A의 폐포 C(A)에 대하여 C(A) = A∪A' = A이므로 A는 닫힌 집합이다. 따라서 A는 유계인 닫힌 무한집합이므로 하이네-보렐 정리에 의해 컴팩트 집합이고, 일반적으로 컴팩트 공간은 극한점 컴팩트 공간이므로, A 내에 극한점을 갖는다. 이는 A'가 공집합이라는 가정에 모순이므로, A'는 공집합이 아니다.

거리공간

거리공간에서 볼차노-바이어슈트라스 정리는 일반적으로 성립하지 않는다. $\mathbb{R}$ 에 이산거리함수를 준 거리공간에서 [0, 1]은 무한집합이지만 극한점을 갖지 않는다.

같이 보기

• 단조수렴정리
• 단조부분수열 정리
• 하이네-보렐 정리
• 점렬 컴팩트 공간

참고 문헌

• Robert G. Bartle, Donald R. Sherbert, 강수철 역, 《실해석학개론》, 범한서적주식회사, 2006.
• Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, McGraw-Hill, 1976.