볼차노-바이어슈트라스 정리

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해석학일반위상수학에서, 볼차노-바이어슈트라스 정리(Bolzano-Weierstraß 定理, 영어: Bolzano–Weierstrass theorem)는 점렬 콤팩트 공간극한점 콤팩트 공간의 개념이 일치하는 조건을 제시하는 정리다.

공식화[편집]

볼차노-바이어슈트라스 정리는 초등적인 해석학에서 보통 다음과 같이 취급한다.[1]

그러나 다음과 같이 보다 일반적인 형식을 사용하는 경우도 있다.[2]

일반적인 위상 공간에서 그 공간 내의 수열이 수렴하는 부분수열을 갖는 공간을 점렬 콤팩트 공간, 그 공간 내의 임의 무한 집합이 적어도 하나의 극한점을 갖는 공간을 극한점 콤팩트 공간이라 하는데, T1 공간에서 이 두 조건은 동치이고 유클리드 공간을 어떤 유계 구간으로 제한한 공간 역시 T1 공간이므로 이 두 조건은 동치가 된다.

증명 a[편집]

모든 실수열은 단조인 부분수열을 가지고(단조부분수열 정리), 유계인 단조수열은 수렴하므로(단조 수렴 정리), 유계인 실수열은 수렴하는 부분수열을 갖는다.

증명 b[편집]

유계인 무한 집합을 A라 놓자. 만약 A의 유도 집합 A'가 공집합이라면, A의 폐포 C(A)에 대하여 C(A) = A∪A' = A이므로 A는 닫힌 집합이다. 따라서 A는 유계 집합인 닫힌 무한 집합이므로 하이네-보렐 정리에 의해 콤팩트 집합이고, 일반적으로 콤팩트 공간은 극한점 콤팩트 공간이므로, A 내에 극한점을 갖는다. 이는 A'가 공집합이라는 가정에 모순이므로, A'는 공집합이 아니다.

거리 공간[편집]

거리 공간에서 볼차노-바이어슈트라스 정리는 일반적으로 성립하지 않는다. \mathbb{R}이산거리함수를 준 거리 공간에서 [0, 1]은 무한집합이지만 극한점을 갖지 않는다.

역사[편집]

보헤미아베르나르트 볼차노독일카를 바이어슈트라스가 증명하였다.

같이 보기[편집]

주석[편집]

  1. Robert G. Bartle, Donald R. Sherbert, 강수철 역, 《실해석학개론》, 범한서적주식회사, 2006, 102쪽.
  2. Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, McGraw-Hill, 1976, p. 40.

참고 문헌[편집]

  • Robert G. Bartle, Donald R. Sherbert, 강수철 역, 《실해석학개론》, 범한서적주식회사, 2006.
  • Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, McGraw-Hill, 1976.

바깥 고리[편집]