1−2+3−4+…

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1−2+3−4+…는 다음과 같은 식으로 표현되는 무한 급수이다.

\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1}n

위 급수는 발산한다. 즉, 위 급수의 부분합 수열 {1, -1, 2, -2, ...}이 극한값을 가지지 않는다는 뜻이다. 실제로 이 수열이 진동하며 발산한다는 것을 쉽게 이해할 수 있다.

역설[편집]

1. \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1}n=S로 두고 다음과 같은 합을 생각하자.

 S = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + . . . 
 S =   + 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - . . .  
 S =   + 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - . . .  
 S =       + 1 - 2 + 3 - 4 + . . . 
--------------------------------------------
4S = 1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + . . . 

그러므로, S=\frac{1}{4}이다.

2. 다음과 같은 식이 성립한다:

1-x+x^2-x^3+x^4-x^5+\cdots=\frac{1}{1+x}.

이제 양변을 미분하면,

-1+2x-3x^2+4x^3-5x^4+\cdots=\frac{-1}{(1+x)^2}

이므로,

1-2x+3x^2-4x^3+\cdots=\frac{1}{(1+x)^2}

이다.

위 식에 x=1을 대입하면, 다음을 얻는다.

1-2+3-4+\cdots=\frac{1}{4}.

역설에 대한 해설[편집]

  1. 무한 급수는 일반적으로 합의 순서를 임의로 바꿀 수 없다. 이 경우, 4개의 S를 더할 때 1+(-2+1+1)+(3-2-2+1)+...처럼 합의 순서를 바꾸었다고 볼 수 있는데, 이렇게 하는 것은 안 된다.
  2. 주어진 식 \scriptstyle{1-x+x^2-x^3+x^4-x^5+\cdots=\frac{1}{1+x}}|x|<1일 때만 수렴한다. 그러므로 x=1을 대입하여 모순이 발생하는 것은 당연하다.