파라콤팩트 공간

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일반위상수학에서, 파라콤팩트 공간(paracompact空間, 영어: paracompact space)은 위상공간으로서, 콤팩트 공간을 새로운 방식으로 정의하여 만든 공간이다. 미분위상수학미분기하학 등의 분야에 아주 유용하게 사용된다. 이들 분야에서 다루는 많은 공간들이 파라콤팩트 공간이며, 이 공간은 단위분할 성질을 가져서 국소적인 성질을 통해 전체적인 성질을 정의할 수 있기 때문에 리만 계량, 미분 형식적분 등 여러 주제에서 유용하기 때문이다.[1]:68 1944년 니콜라 부르바키프랑스 수학자 장 디외도네가 처음으로 제시하였다.[2]

정의[편집]

파라콤팩트 공간은 다음과 같이 정의된다.[1]:68

  • 위상공간 X가 파라콤팩트 공간일 필요충분조건은 X의 모든 열린 덮개가 국소적 유한(locally finite) 세분(refinement) 열린 덮개를 갖는 것이다.

X의 열린 덮개 \{U_{\alpha}\}국소적 유한이라는 것은, x∈X마다 그 근방 W_x 가 존재하여 유한 개의 \alpha 에 대해서만 W_x \cap U_{\alpha} \ne \phi 을 만족한다는 의미이다.[1]:68

성질[편집]

파라콤팩트 공간은 다음과 같은 여러 유용한 성질들을 갖는다.

한편, 일반적으로 파라콤팩트 공간의 임의의 부분공간은 파라콤팩트 공간이 되지 않으므로 파라콤팩트성은 유전적 성질이 아니다. 또한, 콤팩트 공간들을 모으면 티호노프 정리에 의해 그 곱공간 역시 콤팩트 공간이 되는 것과는 다르게, 파라콤팩트 공간의 임의의 곱공간은 파라콤팩트 공간이 되지 않는다.[3]:253

참고 문헌[편집]

  1. (한국어) 조용승 (2010년). 《위상수학》. 경문사
  2. (프랑스어) Dieudonné, Jean (1944년). Une généralisation des espaces compacts. 《Journal de mathématiques pures et appliquées (neuvième série)》 23: 65–76. MR0013297. ISSN 0021-7824.
  3. (영어) Munkres, James R. (2000년). 《Topology》. Prentice Hall