이산 공간

일반위상수학에서 이산 공간(離散空間, 영어: discrete space)은 모든 부분집합이 열린집합인 위상 공간이다. 대략, 고립돼 있는 점들로 이루어진 공간으로 생각할 수 있다.

정의[편집]

이산 공간의 개념은 순수하게 일반위상수학적으로 정의할 수 있으며, 대신 범주론적으로, 또는 기하학적으로 정의할 수도 있다.

위상수학적 정의[편집]

위상 공간 $X$ 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 이산 공간이라고 한다.

$X$ 위의 위상은 그 멱집합이다. 즉, $X$ 의 모든 부분 집합이 열린집합이다.
$X$ 속의 모든 한원소 집합은 열린집합이다.
$X$ 속의 조밀 집합은 $X$ 전체 밖에 없다.
$X$ 를 정의역으로 하는 모든 함수는 연속 함수이다. 즉, 임의의 위상 공간 $Y$ 및 함수 $f\colon X\to Y$ 에 대하여, $f$ 는 연속 함수이다.
$X$ 를 공역으로 하는 연속 함수는 국소 상수 함수 밖에 없다. 즉, 임의의 위상 공간 $Y$ 및 연속 함수 $f\colon Y\to X$ 및 $y\in Y$ 에 대하여, $f|_{U}$ 가 상수 함수인 근방 $U\ni y$ 가 존재한다.
$X$ 속의 점렬 $(x_{i})_{i=0}^{\infty }$ 이 수렴한다면, $x_{N}=x_{N+1}=x_{N+2}=\cdots$ 가 되는 $N\in \mathbb {N}$ 이 존재한다.
국소 연결 공간이자 완전 분리 공간이다.
국소 경로 연결 공간이자 완전 분리 공간이다.

이와 관련된 위상 공간의 종류로 다음이 있다.

모든 한원소 집합이 …	닫힌집합이어야 한다	열린집합이어야 한다	닫힌집합일 수 없다	열린집합일 수 없다	열린집합과 닫힌집합의 교집합이어야 한다
위상 공간의 종류	T₁ 공간	이산 공간	(특별한 이름이 없음)	자기 조밀 공간	T_D 공간

범주론적 정의[편집]

범주론적으로, 이산 공간은 위상 공간의 구체적 범주에서의 자유 대상이다. 즉, 망각 함자 $F\colon \operatorname {Top} \to \operatorname {Set}$ 는 왼쪽 수반 함자

D\colon \operatorname {Set} \to \operatorname {Top}

D\dashv F

를 가지며, 이 함자를 이산 함자라고 한다. 집합 $S$ 의 $D$ 에 대한 상 $I(S)$ 는 $S$ 위의 이산 공간이다. (반대로, 망각 함자의 오른쪽 수반 함자는 비이산 공간 함자이다.)

기하학적 정의[편집]

집합 $X$ 위에는 다음과 같은 표준적 거리 함수를 줄 수 있다.

d(x,y)={\begin{cases}0&x=y\\1&x\neq y\end{cases}}

이 거리 함수를 이산 거리 함수(離散距離函數, 영어: discrete metric)라 하고, 이산 거리 함수를 부여한 거리 공간을 이산 거리 공간(離散距離空間, 영어: discrete metric space)이라고 한다. 이산 거리에 대한 거리 위상은 이산 위상과 같으며, 따라서 이산 공간이 거리화 가능 공간임을 알 수 있다. 이산 거리 공간은 또한 초거리 공간을 이룬다.

성질[편집]

이산 공간에서는 모든 부분 집합이 열린닫힌집합이다.

모든 이산 공간은 다음 성질들을 만족시킨다.

제1 가산 공간이다.
국소 콤팩트 공간이다.
하우스도르프 공간이다.
완전 정규 공간이다.
거리화 가능 공간이다.
다양체(=파라콤팩트 하우스도르프 국소 유클리드 공간)이다. (그러나 제2 가산 공간이 아닐 수 있다.)

이산 공간 $X$ 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

$X$ 는 콤팩트 공간이다.
$X$ 는 유한 집합이다.

이산 공간 $X$ 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

$X$ 는 제2 가산 공간이다.
$X$ 는 가산 집합이다.

두 이산 공간 $X$ , $Y$ 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

$X$ 와 $Y$ 는 서로 위상 동형이다.
$X$ 와 $Y$ 사이에 전단사 함수가 존재한다.

예[편집]

유한 개의 점을 갖는 위상 공간 $X$ 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

T₁ 공간이다.
이산 공간이다.

거리 공간 $(X,d)$ 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

이산 공간이다.
임의의 $x\in X$ 에 대하여, $\textstyle \inf _{y\in X\setminus \{x\}}d(x,y)>0$ 이다.

임의의 양의 정수 $n$ 에 대하여, 몫환 $\mathbb {Z} /(n)$ 의 스펙트럼 $\operatorname {Spec} (\mathbb {Z} /(n))$ 은 이산 공간이다. ( $\operatorname {Spec} (\mathbb {Z} /(n))$ 의 점의 수는 $n$ 의 소인수의 수와 같다.)

외부 링크[편집]

“Discrete topology”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Discrete space”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.