초대칭 대수

초대칭

기본 개념
초공간 초장 초대칭 대수 초등각 대수
초대칭 이론
베스-추미노 모형 초대칭 양자전기역학 초대칭 게이지 이론 최소 초대칭 표준 모형 차등 최소 초대칭 표준 모형 초대칭 대통일 이론 초중력 갈린 초대칭 초끈 이론
초대칭 파괴
최소 초중력 페예-일리오풀로스 모형 오라퍼티 모형
불가능성 정리
콜먼-맨듈라 정리 하크-워푸샨스키-조니우스 정리
수학적 구조
초다양체 리 초군과 리 초대수 초행렬식과 초대각합 켈러 다양체

초대칭 대수(超對稱代數, 영어: supersymmetry algebra)는 푸앵카레 대칭과 초대칭을 나타내는 리 초대수다.

생성자

벡터 지수는 라틴 소문자 $a,b,\dots$로, 손지기 스피너 지수는 그리스 소문자 $\alpha,\beta,\dots$로 쓰자. 물론 벡터 지수는 파울리 행렬을 통하여 한 쌍의 스피너 지수 $a\mapsto\alpha\dot\alpha$로 쓸 수 있다.

푸앵카레 대수는 시공에 대한 병진 $P_a$와 로렌츠 부스트 $M_{ab}$로 이루어진다. 이들은 보존적 생성자다. 여기에 일련의 페르미온적 생성자 $Q_\alpha^i$와 $\bar Q_{\dot\alpha}^i$를 추가한다. (만약 $\mathcal N$개의 초대칭이 있으면 $i=1,2,\dots,N$.) 이들은 초대칭을 나타낸다.

푸앵카레 대수는 $D$차원의 시공에서 4개의 병진 생성자와 $D(D-1)/2$개의 로렌츠 부스트로 총 $4+D(D-1)/2$차원이다. ($D=4$일 경우에는 물론 10차원.) 여기에 $\mathcal N$개의 초대칭이 있는 경우에는 (중심전하를 무시하면) 초대칭 대수는 총 $4+D(D-1)/2+4\mathcal N$차원이 된다.

리 초괄호

푸앵카레 생성자 사이의 괄호는 푸앵카레 대수와 같다. 초대칭 생성자 사이의 초괄호(초대칭 생성자는 페르미온적이므로 "반교환자")는 다음과 같다.

$\{Q,Q\}=\{\bar Q,\bar Q\}=0$

$\{Q_\alpha^i,\bar Q_{\dot\alpha}^j\}=2\delta^{ij}P_{\alpha\dot\alpha}$

즉 초대칭 전하는 일종의 운동량의 제곱근으로 생각할 수 있다.

초대칭과 푸앵카레 사이의 괄호는 다음과 같다. 초대칭은 병진과는 가환하고,

$[Q,P]=[\bar Q,P]=0$

로렌츠 부스트와는 다음과 같은 괄호를 가진다.

$[Q_\alpha^i,M_{\beta\gamma}]=C_{\alpha\beta}Q_\gamma^i$

$[\bar Q_{\dot\alpha}^i,M_{\dot\beta\dot\gamma}]=C_{\dot\alpha\dot\beta}Q_{\dot\gamma}^i$

여기서 $C_{\alpha\beta}$, $C_{\dot\alpha\dot\beta}$는 스피너에 대한 "메트릭" (레비치비타 기호)이고, $M_{\alpha\beta}$, $M_{\dot\alpha\dot\beta}$는 스피너에 대한 로렌츠 표현이다.