초대칭 대수

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초대칭 대수(超對稱代數, 영어: supersymmetry algebra)는 푸앵카레 대칭초대칭을 나타내는 리 초대수다.

생성자[편집]

벡터 지수는 라틴 소문자 a,b,\dots로, 손지기 스피너 지수는 그리스 소문자 \alpha,\beta,\dots로 쓰자. 물론 벡터 지수는 파울리 행렬을 통하여 한 쌍의 스피너 지수 a\mapsto\alpha\dot\alpha로 쓸 수 있다.

푸앵카레 대수는 시공에 대한 병진 P_a와 로렌츠 부스트 M_{ab}로 이루어진다. 이들은 보존적 생성자다. 여기에 일련의 페르미온적 생성자 Q_\alpha^i\bar Q_{\dot\alpha}^i를 추가한다. (만약 \mathcal N개의 초대칭이 있으면 i=1,2,\dots,N.) 이들은 초대칭을 나타낸다.

푸앵카레 대수는 D차원의 시공에서 4개의 병진 생성자와 D(D-1)/2개의 로렌츠 부스트로 총 4+D(D-1)/2차원이다. (D=4일 경우에는 물론 10차원.) 여기에 \mathcal N개의 초대칭이 있는 경우에는 (중심전하를 무시하면) 초대칭 대수는 총 4+D(D-1)/2+4\mathcal N차원이 된다.

리 초괄호[편집]

푸앵카레 생성자 사이의 괄호는 푸앵카레 대수와 같다. 초대칭 생성자 사이의 초괄호(초대칭 생성자는 페르미온적이므로 "반교환자")는 다음과 같다.

\{Q,Q\}=\{\bar Q,\bar Q\}=0
\{Q_\alpha^i,\bar Q_{\dot\alpha}^j\}=2\delta^{ij}P_{\alpha\dot\alpha}

즉 초대칭 전하는 일종의 운동량의 제곱근으로 생각할 수 있다.

초대칭과 푸앵카레 사이의 괄호는 다음과 같다. 초대칭은 병진과는 가환하고,

[Q,P]=[\bar Q,P]=0

로렌츠 부스트와는 다음과 같은 괄호를 가진다.

[Q_\alpha^i,M_{\beta\gamma}]=C_{\alpha\beta}Q_\gamma^i
[\bar Q_{\dot\alpha}^i,M_{\dot\beta\dot\gamma}]=C_{\dot\alpha\dot\beta}Q_{\dot\gamma}^i

여기서 C_{\alpha\beta}, C_{\dot\alpha\dot\beta}는 스피너에 대한 "메트릭" (레비치비타 기호)이고, M_{\alpha\beta}, M_{\dot\alpha\dot\beta}는 스피너에 대한 로렌츠 표현이다.