초대칭 대수

초대칭 대수(超對稱代數, 영어: supersymmetry algebra)는 푸앵카레 대칭과 초대칭을 나타내는 리 초대수다.

정의

푸앵카레 대수는 시공에 대한 병진 $P_{\mu }$와 로런츠 변환 $M_{\mu \nu }$로 이루어진다. 이들은 보손적 생성자다. 여기에 일련의 페르미온적 생성자 $Q_{\alpha }^{i}$와 ${\bar {Q}}_{\dot {\alpha }}^{i}$를 추가한다. (만약 ${\mathcal {N}}$개의 초대칭이 있으면 $i=1,2,\dots ,{\mathcal {N}}$.) 이들은 초대칭을 나타낸다.

푸앵카레 대수는 $D$차원의 시공에서 $D$개의 병진 생성자와 $D(D-1)/2$개의 로런츠 변환으로 총 $D+D(D-1)/2$차원이다. ($D=4$일 경우에는 물론 10차원.) 여기에 ${\mathcal {N}}$개의 초대칭이 있는 경우에는 (중심 전하를 무시하면) 초대칭 대수는 총 $D+D(D-1)/2+\dim({\text{spinor}})\times {\mathcal {N}}$차원이 된다.

주어진 시공간 차원에서, 초전하(영어: supercharge)의 수는 그 차원에서의 최소 스피너 표현의 차원의 정수배이다. 이 정수를 통상적으로 ${\mathcal {N}}$이라고 쓴다. 가장 간단한 초대칭은 ${\mathcal {N}}=1$이며, ${\mathcal {N}}>1$인 경우를 확장 초대칭(영어: extended supersymmetry)이라고 한다. 4차원 민코프스키 공간에서의 최소 스피너 표현은 4차원 바일 또는 마요라나 스피너이므로, ${\mathcal {N}}=1$ 초대칭은 4개의 초전하를 가진다.

초대칭은 서로 다른 스핀의 입자들을 연관지으므로, 초대칭이 더 많을 수록 더 높은 스핀의 입자가 필요하다. 스핀이 2를 초과하는 경우는 (일반적으로) 상호작용하는 이론을 정의할 수 없다. 만약 초전하의 수가 32를 초과하는 경우 스핀이 2를 초과하는 입자가 필요하므로, 초전하는 최대 32개가 존재할 수 있다. 32개의 초전하의 경우 스핀이 2인 입자(중력자)가 필요하므로, 이는 초중력 이론을 이룬다. 11차원 초중력이나 10차원 IIA/B 초중력, 4차원 ${\mathcal {N}}=8$ 초중력 등이 그 예이다.

만약 중력을 포함하지 않으려면, 입자의 스핀은 최대 1이어야 한다. (스핀이 1½인 경우는 그래비티노로, 중력이 없이는 상호작용하는 그래비티노를 포함할 수 없다.) 이 경우에는 초전하의 수는 최대 16이다. 10차원 ${\mathcal {N}}=1$ 초대칭 양-밀스 이론이나 4차원 ${\mathcal {N}}=4$ 초대칭 양-밀스 이론 이 그 예이다.

다양한 시공간 차원에서 가능한 초대칭의 종류는 다음과 같다. (12차원 이상에서는 자명하지 않은 초대칭 이론이 존재할 수 없다고 여겨진다.)

다양한 차원의 민코프스키 공간에서의 최소 초대칭 수

시공간의 차원	${\mathcal {N}}=1$의 초전하수
11	32
10, 9, 8, 7	16
6, 5	8
4	4
3	2
2,1	1

차원 축소에 따른 초대칭. 주어진 칸의 초대칭을 차원 축소하면 그 밑에 있는 초대칭들을 얻는다.

시공간의 차원	32개의 초전하		16개의 초전하		8개의 초전하	4개의 초전하	2개의 초전하
11	${\mathcal {N}}=1$	(불가능)
10	${\mathcal {N}}=(1,1)$ (IIA종)	${\mathcal {N}}=(2,0)$ (IIB종)	${\mathcal {N}}=(1,0)$ (I종)	(불가능)
9	${\mathcal {N}}=2$		${\mathcal {N}}=1$
8	${\mathcal {N}}=2$		${\mathcal {N}}=1$
7	${\mathcal {N}}=2$		${\mathcal {N}}=1$
6	${\mathcal {N}}=(2,2)$		${\mathcal {N}}=(1,1)$	${\mathcal {N}}=(2,0)$	${\mathcal {N}}=(1,0)$	(불가능)
5	${\mathcal {N}}=4$		${\mathcal {N}}=2$		${\mathcal {N}}=1$
4	${\mathcal {N}}=8$		${\mathcal {N}}=4$		${\mathcal {N}}=2$	${\mathcal {N}}=1$	(불가능)
3	${\mathcal {N}}=16$		${\mathcal {N}}=8$		${\mathcal {N}}=4$	${\mathcal {N}}=2$	${\mathcal {N}}=1$	(불가능)
2	${\mathcal {N}}=(16,16)$		${\mathcal {N}}=(8,8)$		${\mathcal {N}}=(4,4)$	${\mathcal {N}}=(2,2)$	${\mathcal {N}}=(1,1)$	${\mathcal {N}}=(2,0)$

4차원 초대칭

4차원에서, ${\mathcal {N}}=1$ 초대칭은 (디랙 스피너이므로) 총 4개의 초전하를 가진다. 즉, 일반적으로는 $4{\mathcal {N}}$개의 초전하가 존재한다. 이 경우, 흔히 볼 수 있는 것은 ${\mathcal {N}}=1$, ${\mathcal {N}}=2$, ${\mathcal {N}}=4$ 및 ${\mathcal {N}}=8$ 초중력이다. 중력을 포함하지 않는 경우, ${\mathcal {N}}>4$인 경우는 와인버그-위튼 정리에 걸려 자명한 이론이 되고, 중력을 포함한다고 해도 ${\mathcal {N}}=8$까지만 가능하다.

주어진 ${\mathcal {N}}$에 대하여, 초대칭 대수의 생성원은 다음과 같다.

• 병진 변환 $P_{\mu }$
• 회전 $J_{\mu \nu }$
• 초대칭 $Q_{\alpha }^{i}$, ${\bar {Q}}_{\dot {\alpha }}^{i}$ ($i=1,\dots ,{\mathcal {N}}$). 이는 R대칭군의 크기가 ${\mathcal {N}}$인 "벡터 표현"을 따른다. 이 표현을 $b^{ai}{}_{j}$라고 쓰자.
• R대칭 $R^{a}$는 R대칭군 $R\subseteq U({\mathcal {N}})$의 딸림표현을 따른다. 이 표현을 $f^{ab}{}_{c}$라고 쓰자.
• 중심 원소 $Z^{ij}$

이들의 리 초괄호는 다음과 같다.

$[P_{\mu },P_{\nu }]=0$

$[J_{\mu \nu },P_{\rho }]=i\left(\eta _{\mu \rho }P_{\nu }-\eta _{\nu \rho }P_{\mu }\right)$

$[J_{\mu \nu },J_{\rho \sigma }]=i\left(\eta _{\mu \rho }J_{\nu \sigma }-\eta _{\mu \sigma }J_{\nu \rho }-\eta _{\nu \rho }J_{\mu \sigma }+\eta _{\nu \sigma }J_{\mu \rho }\right)$

$\{Q_{\alpha }^{i},Q_{\beta }^{j}\}=\epsilon _{\alpha \beta }Z^{ij}$

$[Q_{\alpha }^{i},M_{\mu \nu }]={\frac {1}{2}}(\sigma _{\mu \nu })^{\beta }{}_{\alpha }Q_{\beta }^{i}$

$[{\bar {Q}}_{\dot {\alpha }}^{i},M_{\mu \nu }]=-{\frac {1}{2}}(\sigma _{\mu \nu })^{\dot {\beta }}{}_{\dot {\alpha }}{\bar {Q}}_{\dot {\beta }}^{i}$

$\{{\bar {Q}}^{i},{\bar {Q}}^{j}\}=-\epsilon _{{\dot {\alpha }}{\dot {\beta }}}(Z^{ij})\dagger )$

$\{Q_{\alpha }^{i},{\bar {Q}}_{\dot {\alpha }}^{j}\}=2\sigma _{\alpha {\dot {\alpha }}}^{\mu }\delta ^{ij}P_{\mu }$

$[Q^{i},R^{a}]=b^{ai}{}_{j}Q^{j}$

$[Q^{i},R^{a}]=-(b^{ai}{}_{j})^{\dagger }{\bar {Q}}^{j}$

$[{\bar {Q}}^{i},R^{a}]=-(b^{ai}{}_{j})^{\dagger }Q^{j}$

$[{\bar {Q}}^{i},R^{j}{}_{k}]=-\delta _{k}^{i}{\bar {Q}}^{j}$

$[Z^{ij},P_{\mu }]=[Z^{ij},J_{\mu \nu }]=[Z^{ij},R^{a}]=[Z^{ij},Q]=0$

즉, 초대칭 전하는 일종의 운동량의 제곱근으로 생각할 수 있다.

위상 뒤틀림

4차원에서는 ${\mathcal {N}}=2$ 또는 ${\mathcal {N}}=4$인 경우 위상 뒤틀림(영어: topological twist)을 가해 위상 양자장론으로 만들 수 있다. 이 경우, ${\mathcal {N}}=2$인 경우는 SU(2) R대칭을 $\operatorname {Spin} (4)=\operatorname {SU} (2)^{2}$ 로런츠 대칭의 두 좌·우 성분 가운데 하나와 대각군을 취하며, ${\mathcal {N}}=4$인 경우는 서로 동일하지 않는 3가지의 가능한 뒤틀림이 존재한다.

초다중항

4차원 민코프스키 공간에서 상호작용이 가능한 초다중항들은 다음과 같다.

• ${\mathcal {N}}=1$
  • 손지기 초다중항(영어: chiral multiplet): 복소 스칼라장, 바일 스피너
  • 벡터 초다중항(영어: vector multiplet): 바일 스피너, 게이지장
  • 중력자 초다중항(graviton supermultiplet): 중력자, 바일 그래비티노
• ${\mathcal {N}}=2$
  • 하이퍼 초다중항(영어: hypermultiplet): 복소 스칼라장(×2), 디랙 스피너
    • 서로 다른 나선도의 두 ${\mathcal {N}}=1$ 손지기 초다중항으로 구성된다. 게이지 대칭이 있는 경우, 하나는 표현 R, 다른 하나는 그 복소 켤레 표현 R을 따른다.
  • 벡터 초다중항: 복소 스칼라장, 디랙 스피너, 게이지장
    • ${\mathcal {N}}=1$ 벡터 초다중항과 (게이지 딸림표현) ${\mathcal {N}}=1$ 손지기 초다중항으로 구성된다.
  • 중력자 초다중항: 중력자, 디랙 그래비티노, 중력광자
• ${\mathcal {N}}=4$
  • 벡터 초다중항: 실수 스칼라장 (×6), 바일 스피너 (×6), 게이지장
  • 중력자 초다중항
• ${\mathcal {N}}=8$
  • 중력자 초다중항

3차원 초대칭

3차원 민코프스키 공간에서의 초대칭은 다음과 같다. 이 경우 ${\mathcal {N}}=1$ 초대칭은 2개의 초대칭을 가지며, 마요라나 스피너가 된다.

$\{Q^{i},{\bar {Q}}^{j}\}=i\sigma _{\alpha \beta }^{\mu }\delta ^{ij}P_{\mu }+Z^{ij}$

여기서 중심 확대 $Z^{ij}$는 반대각화하여 $\lfloor {\mathcal {N}}/2\rfloor$개의 실수 고윳값으로 나타낼 수 있다. ${\mathcal {N}}=2$ 초대칭에서는 하나의 중심 전하 $Z$가 존재하며, 이 경우 모든 물리적 상태들의 질량 $M$은 BPS 부등식

$M\geq Z$

를 만족시킨다.^:(19)

3차원 민코프스키 공간에서 상호작용이 가능한 초다중항들은 다음과 같다. 3차원에서는 게이지장을 $*F=\phi$로 실수 스칼라로 이중화할 수 있다. 즉, 3차원에서는 스칼라장 및 (마요라나) 페르미온만이 존재한다.

• ${\mathcal {N}}=1$: 실수 스칼라장 (×1), 마요라나 스피너 (×1). R대칭은 없다.
• ${\mathcal {N}}=2$: 실수 스칼라장 (×2), 마요라나 스피너 (×2). R대칭은 U(1). 이 경우는 4차원 ${\mathcal {N}}=1$을 축소화하여 얻는다. 이 경우 게이지 이론의 거울 대칭이 존재한다.
• 마찬가지로 ${\mathcal {N}}=4,8,16$ 등이 존재한다.

6차원 초대칭

6차원 민코프스키 공간에서는 2차 미분형식 퍼텐셜 게이지장이 존재한다. 이 경우, 질량껍질 위에서, (1차 미분형식) 게이지장은 4개의 자유도를, 바일 스피너는 4개의 자유도를, 2차 미분형식 게이지장은 3개의 자유도를 가진다.

• ${\mathcal {N}}=1$. R대칭은 SU(2)이다.
  • 하이퍼 초다중항: 실수 스칼라장 (×4), 바일 스피너 (×1)
  • 벡터 초다중항: 1차 형식 게이지장 (×1), 바일 스피너 (×1)
  • 텐서 초다중항: 2차 형식 게이지장 (×1), 바일 스피너 (×1), 실수 스칼라 (×1)
• ${\mathcal {N}}=(1,1)$. R대칭은 SO(4)이다.
  • 벡터 초다중항: 1차 형식 게이지장 (×1), 디랙 스피너 (×1), 실수 스칼라장 (×4)
• ${\mathcal {N}}=(2,0)$. R대칭은 SO(5)이다.
  • 텐서 초다중항: 2차 형식 게이지장 (×1), 왼쪽 바일 스피너 (×2), 실수 스칼라장 (×5)

2차원 초대칭

 이 부분의 본문은 2차원 𝒩=1 초등각 장론입니다.

 이 부분의 본문은 2차원 𝒩=2 초등각 장론입니다.

 이 부분의 본문은 2차원 𝒩=4 초등각 장론입니다.

참고 문헌

• Terning, John (2005). 《Modern Supersymmetry: Dynamics and Duality》. International Series of Monographs on Physics (영어) 132. Oxford University Press. doi:10.1093/acprof:oso/9780198567639.001.0001. ISBN 978-019856763-9. Zbl 1087.81006. 

외부 링크

• “Supersymmetry”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.