보손 끈 이론

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보손 끈 이론(영어: bosonic string theory)은 초대칭을 도입하지 않은 끈 이론이다. 1960년대에 끈 이론 가운데 처음 발견되었다.

특성[편집]

보손 끈 이론은 끈 이론 가운데 가장 단순하여, 장난감 모형으로 쓰인다. 보손 끈 이론은 다음과 같은 특성을 지닌다.

  • 보손 끈 이론은 초대칭이 없으므로 페르미온을 포함하지 않는다. 즉 오직 NS-NS 장만을 포함한다.
  • 보손 끈 이론은 타키온을 포함한다. 따라서 보손 끈 이론의 진공은 자명하지 않으며, 그 참 진공은 아직 잘 밝혀지지 않았다. (이에 반하여 초끈 이론은 GSO 사영을 통하여 타키온을 없앨 수 있다.)
  • 보손 초끈 이론은 임계 차원이 26차원이다. 즉, 26차원이 아닌 다른 차원에서는 일반적으로 로런츠 대칭을 보존하면서 유령 상태를 없앨 수 없다. 이는 클로드 러블레이스(Claud Lovelace)가 발견하였다.[1][2] (초끈 이론에서는 초대칭에 따른 \beta, \gamma 유령 입자에 의하여 임계 차원이 10차원으로 줄어든다.)

이론적 전개[편집]

이란 시공을 통해 움직이는 1차원의 개체다. 고리 모양인 (원과 동형인) 닫힌 끈(영어: closed string)과 끊어진 (선분과 동형인) 열린 끈(영어: open string)이 있다. 따라서 끈은 (0+1차원의 세계선을 지니는 점입자와 달리) 1+1차원의 세계면으로 나타내어진다. 1+1차원의 세계면은 두 좌표로 나타낼 수 있다. 세계면 좌표를 \xi^a (a\in\{0,1\})로 쓰자. 세계면 좌표는 단위를 쓰지 않는다 (무차원).

끈은 시공 안에 존재한다. 시공을 1차원의 시간과 D-1 차원의 공간으로 이루어져 있다고 가정하자. (관측에 따르면 D=4이나, 보손 끈 이론은 추가 차원을 필요로 한다.) 시공의 좌표를 X^\mu (\mu\in\{0,1,\dots,D-1\})로 쓰자. 시공의 (민코프스키) 계량 텐서는 g_{\mu\nu}=\operatorname{diag}(-1,1,1,\dots,1)로 쓰자. 끈의 시공 속의 위치를 매장 (embedding) X^\mu(\xi^a)로 나타낼 수 있다. 시공의 계량 텐서로부터 세계면 계량 텐서

h_{ab}=\partial_aX\cdot\partial_bX

를 정의할 수 있다.

끈을 다루는 가장 간단한 작용은 난부-고토 작용

S[X^\mu]=-T\int d^2\xi\;\sqrt{-\det h}

이나, 이는 제곱근 때문에 양자화가 어렵다. 따라서 세계면 계량 텐서를 보조장으로 승격시킨 폴랴코프 작용

S[X^\mu,h_{ab}]=-\frac12T\int d^2\xi\;\sqrt{-\det h}h^{ab}\partial_aX\cdot\partial_bX

를 쓴다. 여기서 T=1/(2\pi\alpha')는 작용을 무차원화시키기 위한 상수로서, 끈의 장력 또는 에너지 밀도를 나타낸다. \alpha'레제 기울기(영어: Regge slope) 또는 "알파 프라임"으로 불리는 상수다. (툴리오 레제(이탈리아어: Tullio Regge)의 이름을 딴 것이다.)

방식 전개[편집]

폴랴코프 작용을 h_{ab}=\operatorname{diag}(-1,1)인 등각 게이지로서 풀면, 운동 방정식

\square X^\mu=0

과 게이지 조건

(\partial_0\pm\partial_1X)^2=0

을 얻는다. 운동 방정식은 단순히 파동 방정식이므로, 경계 조건이 주어지면 간단히 풀 수 있다. 우선 닫힌 끈의 경우 X^\mu(\xi^0,\xi^1)=X^\mu(\xi^0,\xi^1+2\pi)의 주기성 (periodicity) 조건을 주자. 그리고 편의상 빛원뿔 좌표

\xi^\pm=\xi^0\pm\xi^1

를 정의하자. 그렇다면 파동 방정식의 해는 (왼쪽 방식(영어: mode)과 오른쪽 방식을 구분해 쓰면)

X^\mu(\xi)=X^\mu_\mathrm L(\xi^+)+X^\mu_\mathrm R(\xi^-)
X^\mu_\mathrm L(\xi^+)=\frac12x^\mu+\frac12\alpha'p^\mu+\sqrt{\frac{\alpha'}2}\sum_{n\ne0}\frac1n\exp(-\mathrm in\xi^+)\alpha_n^\mu
X^\mu_\mathrm R(\xi^-)=\frac12x^\mu+\frac12\alpha'p^\mu+\sqrt{\frac{\alpha'}2}\sum_{n\ne0}\frac1n\exp(-\mathrm in\xi^-)\beta_n^\mu

이 된다. 여기서 p^\mu뇌터 정리를 쓰면 끈의 운동량임을 알 수 있다. 방식으로 전개한 이 표현에 게이지 조건 (\partial_\pm X)^2=0을 적용하면 임의의 m\in\mathbb Z에 대하여

0=\sum_{n=-\infty}^\infty\exp(-\mathrm in\xi^+)\alpha_{-n+m}\cdot\alpha_n=\sum_{n=-\infty}^\infty\exp(-\mathrm in\xi^-)\beta_{-n+m}\cdot\beta_n

의 조건을 얻는다. (여기서

\alpha_0^\mu=\beta_0^\mu=\sqrt{\frac{\alpha'}2}p^\mu

로 정의한다.) 이 가운데 m=0인 조건으로부터 끈의 질량 공식

M^2=-p^2=\frac4{\alpha'}\sum_{n=1}^\infty\alpha_{-n}\cdot\alpha_n=\frac4{\alpha'}\sum_{n=1}^\infty\beta_{-n}\cdot\beta_n

을 얻는다.

양자화[편집]

끈은 여러 가지 방법으로 양자화할 수 있으나, 그 가운데 빛원뿔 좌표계를 쓰는 양자화가 가장 간단하다. 우선, 시공의 빛원뿔 좌표

X^\pm=\frac1{\sqrt2}(X^0\pm X^1)

을 정의하자. 그리고 잉여 게이지 자유로

X^+(\xi)=x^\mu+\alpha'p^\mu\xi^0

으로 쓰자. 이렇게 쓰면 계의 자유도는 x^\pm, p^+, x^i, p^i,\alpha^i,\beta^i (i\in\{2,\dots,D-2\})이다. 다음에 바른틀 교환자 관계 (영어: canonical commutation relation)를 적용시킨다.

[x^i,p^i]=\mathrm i\delta^{ij}
[x^\pm,p^\mp]=-\mathrm i
[\alpha^i_m,\alpha^j_n]=n\delta^{ij}\delta_{m+n,0}.

(p^-는 계의 고전적 자유도가 아니므로, 이는 양자화한 뒤에 연산자식으로 구속한다.) 이렇게 쓰면 정렬 모호성 (영어: ordering ambiguity)으로 인해 질량 공식이

M^2=\frac4{\alpha'}\left(-\frac{D-2}{24}+\sum_{n=1}^\infty\alpha_{-n}\cdot\alpha_n\right)=\frac4{\alpha'}\left(-\frac{D-2}{24}+\sum_{n=1}^\infty\beta_{-n}\cdot\beta_n\right)

가 된다. 여기서 연산자

N=\sum_{n=1}^\infty\alpha_{-n}\cdot\alpha_n
\tilde N=\sum_{n=1}^\infty\beta_{-n}\cdot\beta_n

준위(영어: level) 연산자로 부르고, 이들은 자연수의 고윳값을 갖는다. N=\tilde N=0인 경우 M^2<0이므로 이는 타키온을 나타낸다. N=\tilde N=1인 경우엔 로런츠 대칭을 위하여 M^2=0이어야 하므로, D=26임을 알 수 있다. 즉 보손 끈 이론의 임계 차원은 26차원이다. 이 경우 입자는 무질량 입자인데, 이는 스핀 2의 중력자 G_{\mu\nu}, 스핀 1의 캘브-라몽 장 B_{\mu\nu} (영어: Kalb–Ramond field), 스핀 0의 딜라톤 \Phi을 포함한다. 이들을 통틀어 느뵈-슈워츠-느뵈-슈워츠 장 (영어: Neveu–Schwarz–Neveu–Schwarz field)으로 부른다. N=2이상의 입자는 질량이 \propto1/\sqrt{\alpha'}이므로 (대략 플랑크 질량으로 추정) 너무 커 관측되지 않는다.

같이 보기[편집]

참고 문헌[편집]

  1. Lovelace, Claud (1971년 3월 29일). Pomeron Form Factors and Dual Regge Cuts. 《Physics Letters B》 34 (6): 500–506. doi:10.1016/0370-2693(71)90665-4.
  2. Lovelace, Claud (2012). 〈Dual amplitudes in higher dimensions: a personal view〉, 《The Birth of String Theory》. Cambridge: Cambridge University Press, 198–201쪽. doi:10.1017/CBO9780511977725.018. ISBN 9780521197908
  • Polchinski 1장
  • Zwiebach 1장